已知:拋物線與x軸交于點A、B(A左B右),其中點B的坐標(biāo)為(7,0),設(shè)拋物線的頂點為C.

(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo);

(2)如圖1,若AC交y軸于點D,過D點作DE∥AB交BC于E.點P為DE上一動點,PF⊥AC于F,PG⊥BC于G.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a,四邊形CFPG的面積為y,求y與a的函數(shù)關(guān)系式和y的最大值;

(3)如圖2,在條件(2)下,過P作PH⊥x軸于點H,連結(jié)FH、GH,是否存在點P,使得△PFH與△PHG相似?若存在,求出P點坐標(biāo);若不存在,說明理由.

 

【答案】

(1),C(3,4);(2),當(dāng)時,y最大值=

(3)(3,1)或(,1)或(,1)

【解析】

試題分析:(1)由題意把點B的坐標(biāo)(7,0)代入拋物線即可得到拋物線的解析式,再根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)公式(,)即可求得頂點C的坐標(biāo);

(2)由DE∥AB,再結(jié)合PF⊥AC于F,PG⊥BC于G,可得四邊形CFPG為矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)及二次函數(shù)的解析式即可求得y與a的函數(shù)關(guān)系式,從而可以求得y的最大值;

(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì):相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比,求解即可,要注意分情況討論.

試題解析:(1)∵拋物線過點B(7,0)

,解得

∴拋物線的解析式為,

∴頂點C的坐標(biāo)為(3,4);

(2)由題意得四邊形CFPG為矩形,

當(dāng)時,y最大值=

(3)(3,1)或(,1)或(,1).

考點:拋物線綜合題

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于A(-2,0)、B(4,0),與y軸交于C(0,4).
(1)求拋物線頂點D的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線CD交x軸于點E,過點B作x軸的垂線,交直線CD于點F,將拋物線沿其對稱軸上下平移,使拋物線與線段EF總有公共點.試探究:拋物線向上最多可以平移多少個單位長度,向下最多可以平移多少個單位長度?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,已知該拋物線與x軸交于A、B兩點,頂點為C,
(1)根據(jù)圖象所給信息,求出拋物線的解析式;
(2)求直線BC與y軸交點D的坐標(biāo);
(3)點P是直線BC上的一點,且△APB與△DOB相似,求點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于A(-1,0)、B兩點,點B在x軸的正半軸上,與y軸交于點C(0,-3),拋物線頂點為M,連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q,且點Q到x軸的距離為6.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)在拋物線上找一點D,使得DC與AC垂直,求出點D的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:期末題 題型:解答題

如圖1,已知:拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,經(jīng)過B,C兩點的直線是,連結(jié)AC.
(1)寫出B,C兩點坐標(biāo),并求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點D,E,F(xiàn),G在△ABC各邊上)?若能,求出在AB邊上的矩形頂點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
[拋物線的頂點坐標(biāo)是]

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線與x軸交于
點A(x1,0)、B(x2,0),且x1<1<x2
【小題1】求A、B兩點的坐標(biāo)(用a表示);
【小題2】設(shè)拋物線的頂點為C,求△ABC的面積;
【小題3】若a是整數(shù),P為線段AB上的一個動點(P點與A、B兩點不重合),
在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN,記線段MN的中點為Q,求拋物線的
解析式及線段PQ的長的取值范圍.

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