Question

（2012•黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6

2

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-9，0）．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線DE交梯形對(duì)角線BO于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且OE=2，OD=2BD，求直線DE的解析式；
（3）若點(diǎn)P是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)、E、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，在Rt△BCF中，已知∠BCO=45°，BC=6

2

，解直角三角形求CF，BF，確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)得出△ODG∽△OBA，利用相似比求DG，OG，確定D點(diǎn)坐標(biāo)，由已知得E點(diǎn)坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)法”求直線DE的解析式；
（3）存在．由已知的OE=2，分別以O(shè)、E為圓心，2為半徑畫(huà)弧，與直線DE相交，或作線段OE的垂直平分線與直線DE相交，交點(diǎn)即為所求．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于F，…（1分）
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=6

2

，
∴CF=BF=6，…（1分）
∵C 的坐標(biāo)為（-9，0），
∴AB=OF=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，6）；…（1分）

（2）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，…（1分）
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵

DG

AB

=

OD

OB

=

OG

OA

=

2

3

，AB=3，OA=6，
∴DG=2，OG=4，…（1分）
∴D（-2，4），E（0，2），
設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

-2k+b=4 b=2

，
∴

k=-1 b=2

，…（1分）
∴直線DE解析式為y=-x+2； …（1分）

（3）OP₁=OE，△EOP₁為等腰三角形，P₁（2，0）
P₂E=P₂O，△OP₂E為等腰三角形，P₂（1，1）
EO=EP₃，△OEP₃為等腰三角形，P₃（

2

，2-

2

）
EO=EP₄，△OEP₄為等腰三角形，P₄（-

2

，2+

2

）
P₃，P₄在直線DE上，P₃在E點(diǎn)右下側(cè)，P₄在E點(diǎn)左上側(cè)．
存在P₁（2，0）、P₂（1，1）、P₃（

2

，2-

2

）、P₄（-

2

，2+

2

）…（3分）
（寫(xiě)對(duì)一個(gè)點(diǎn)得1分，寫(xiě)對(duì)兩個(gè)點(diǎn)或三個(gè)點(diǎn)得2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，解直角三角形，證明三角形相似，確定相關(guān)線段的長(zhǎng)和點(diǎn)的坐標(biāo)，得出直線解析式，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類求P點(diǎn)坐標(biāo)．