Question

如圖，矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色．
（1）GC的長為

 

，F(xiàn)G的長為

 

；
（2）著色面積為

 

；
（3）若點P為EF邊上的中點，則CP的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形折疊不變性的性質(zhì)可知AD=CG，DF=FG，AE=CE，設DF=x，連接AC，再由EF是折痕可知EF垂直平分AC，故DF=FG=x，在Rt△FCG中，利用勾股定理即可求解；
（2）由（1）可知，CF=AE，故DF=BE，可知著色面積為矩形ABCD面積的一半與△CGF面積的和；
（3）若P為EF邊上的中點，則CP=

1

2

AC，利用勾股定理即可求解．

解答：解：（1）圖形折疊不變性的性質(zhì)可知AD=GC，DF=GF，AE=CE，設DF=x，則FG=x，F(xiàn)C=4-x，
∵AD=2，
∴GC=2，
連接AC，

∵EF是折痕，
∴EF垂直平分AC，
∴PF=PE，AE=CE=FC=4-x，
在Rt△FCG中，F(xiàn)C²=FG²+GC²，即（4-x）²=x²+2²，
解得x=

3

2

；

（2）∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴S_著色=S_{四邊形BCFE}+S_△CGF，
=

1

2

S_矩形ABCD+S_△CGF，
=

1

2

×AB•AD+

1

2

CG•GF，
=

1

2

×4×2+

1

2

×2×

3

2

，
=4+

3

2

，
=

11

2

；

（3）在Rt△ADC中，AC=

AD2+CD2

=

22+42

=2

5

，
∵P是EF的中點，P是AC的中點，
∴PC=

1

2

AC=

1

2

×2

5

=

5

．
故答案為：2，

3

2

；

11

2

；

5

．

點評：本題考查的是圖形折疊的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．