Question

（2012•株洲）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可；
（2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可．

解答：解：（1）∵從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，從而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴當(dāng)t為4時(shí)，∠AMN=∠ANM．
              
（2）在Rt△ABC中
∵AB²=BC²+AC²
∴AB=13
如圖，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即：

2t

13

=

NH

5

，
∴NH=

10

13

t
從而有S_△AMN=

1

2

（12-t）•

10

13

t=-

5

13

t²+

60

13

t，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S最大值=

180

13

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證得的相似三角形得到比例式，從而求解．