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以Rt△AOB的直角邊OA、OB為y軸,x軸建立直角坐標系,AO=b,BO=a,(a>b),Q是邊OB上的動點,點Q不與B、O重合,點P是AB的中點.
(1)請寫出A、B的坐標;
(2)若以點O、P、Q為頂點的三角形與△ABO相似,這時的Q點能有幾個,請說明理由并分別求出相應的Q點、P點的坐標.

【答案】分析:(1)根據OA、OB的值直接寫出A、B的坐標即可;
(2)求出OP=PA=PB,推出∠ABO=∠POB,求出AB,有2種情況:①∠PQO=90°,②∠QPO=90°,根據相似三角形的判定推出即可,根據P為AB中點,求出P的坐標即可,根據相似三角形性質得出比例式,代入即可求出圖2中Q的坐標.
解答:解:(1)A的坐標是(0,b),B的坐標是(a,0).

(2)∵∠AOB=90°,P為AB中點,
∴AP=OP=PB,
∴∠POB=∠ABO.
如圖Q點有2個,
圖1中,PQ⊥OB,
則∠OQP=∠AOB=90°,
∵∠POB=∠ABO,
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
∵PQ∥OA,
===
∴PQ=b,BQ=0Q=a,
即P(a,b),Q(a,0);
圖2中,∠QPO=90°=∠AOB,
∵∠POB=∠ABO,
∴以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,
在△AOB中,由勾股定理得:AB=,OP=
=,
=,
∴OQ=
即P(a,b),Q(,0).
點評:本題考查了相似三角形的性質和判定,勾股定理,直角三角形斜邊上中線性質,等腰三角形性質等知識點的應用,主要考查學生運用性質進行推理的能力.本題綜合性比較強,是一道具有代表性的題目.
練習冊系列答案
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如圖1,在平面直角坐標系中,等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上,直線y=3x-4經過等腰Rt△AOB的直角頂點A,交y軸于C點,雙曲線y=
kx
(x>0)也恰好經過點A.
(1)求k的值;
(2)如圖2,過O點作OD⊥AC于D點,求CD2-AD2的值;
(3)如圖3,點P為x軸上一動點.在(1)中的雙曲線上是否存在一點Q,使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形.若存在,求出點P、點Q的坐標,若不存在,請說明理由.
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