Question

有一張矩形紙片ABCD，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)(但不與頂點(diǎn)重合)，若EF將矩形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB＝a，AD＝b，BE＝x， (1) 求證：AF＝EC； (2) 用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對(duì)稱翻折，平放拼接在梯形ECDF的下方，使一邊重合，一腰落在DC的延長(zhǎng)線上，拼接后，下方梯形證C． ①當(dāng)x∶b為何值時(shí)，直線E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)； ②在直線E經(jīng)過(guò)原矩形的一個(gè)頂點(diǎn)的情形下，連結(jié)B，直線B與EF是否平行；你若認(rèn)為平行，請(qǐng)給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)a與b有何種數(shù)量關(guān)系時(shí)，它們就垂直．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵EF將矩形分成面積相等的兩部分 　　∴有關(guān)系式：(AF＋x)a＝(b－x＋b－AF)a 　　由此可證得AF＝EC

(2)

�、偃鐖D(1)，當(dāng)直線E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，∵DC＝C＝a．EC∥，∴DE＝E，∴2EC＝， 　　即2(b－x)＝x可解得x∶b＝2∶3 　　如圖(2)，當(dāng)直線E過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)， 　　∵DC＝C＝a　AD∥EC∥ 　　∵AE＝E　∴2EC＝＋AD 　　即2(b－x)＝x＋b，從而解得x∶b＝1∶3 　�、廴鐖D(1)，當(dāng)直線E過(guò)原矩形的頂點(diǎn)D時(shí)，B∥EF 　　證明：連BF，∵DFBE 　　∴四邊形BEDF為平行四邊形， 　　∴BFDE， 　　又DC＝C　EC∥ 　　∴DE＝E　∴BFE 　　∴四邊形BFE是平行四邊形，∴B∥EF． 　　如圖(2)，當(dāng)直線E經(jīng)過(guò)原矩形的頂點(diǎn)A時(shí)， 　　顯然BEF， 　　設(shè)直線EF與A交于點(diǎn)G， 　　∵∠FEC＝∠EFA－∠EC 　　又∠BEG＝∠FEC 　　∴∠BEG＝∠EC 　　若∠EBG＝∠EM 　　則B⊥EF 　　在B⊥EF的情況下， 　　不妨設(shè)∠EBG＝α，則∠EM＝α 　　在Rt△BM中，tanα＝＝＝ 　　在Rt△EM中，tanα＝＝＝ 　　∴＝ 　　∵a＞b，b＞0　∴＝ 　　即當(dāng)＝時(shí)，B⊥EF．