Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一點(diǎn)，BD=DC，P是BC上的任一點(diǎn)，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F為垂足．求證：PE+PF=AB．

Answer 1

證明：過P作PG⊥AB于G，交BD于O，
∵PF⊥AC，∠A=90°，
∴∠A=∠AGP=∠PFA=90°，
∴四邊形AGPF是矩形，
∴AG=PF，PG∥AC，
∵BD=DC，
∴∠C=∠GPB=∠DBP，
∴OB=OP，
∵PG⊥AB，PE⊥BD，
∴∠BGO=∠PEO=90°，
在△BGO和△PEO中

∴△BGO≌△PEO，
∴PE=BG，
∵AB=BG+AG，
∴PE+PF=AB．
分析：過P作PG⊥AB于G，交BD于O，證出矩形AGPF，推出AG=PF，PG∥AC，根據(jù)已知求出∠OBP=∠OPB，推出OB=OP，證△BOG≌△POE，推出BG=PE即可．
點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作輔助線，并進(jìn)一步求出AG=PF，BG=PE，題目綜合性比較強(qiáng)．