Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交y軸于點A，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知C點坐標為（6，0）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間．問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出△PAC的最大面積；
（3）連接AB，過點B作AB的垂線交拋物線于點D，以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切，先補全圖形，再判斷直線BD與⊙C的位置關系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由拋物線頂點為（4，1），可設出其頂點式y(tǒng)=a（x-4）²+1，將C點（6，0）代入其中即可求得a的值；
（2）設出P點坐標（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），用含m的多項式來表示出△PAC面積，根據(jù)解極值問題即可得出△PAC的面積取最大值時P點的坐標，以及最大面積值；
（3）如圖做好輔助線，借助于相似三角形的比例關系求出C到直線BD的距離，再與⊙C半徑進行比較，即可得出結論．

解答 （1）解：∵拋物線的頂點為（4，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-4）²+1．
∵拋物線經(jīng)過點C（6，0），
∴0=a（6-4）²+1，解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+2x-3．
（2）解：如圖1，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q，

∵A（0，-3），C（6，0），
∴直線AC解析式為y=$\frac{1}{2}$x-3．
設P點坐標為（m，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3），
則Q點的坐標為（m，$\frac{1}{2}$m-3），
∴PQ=-$\frac{1}{4}$m²+2m-3-（$\frac{1}{2}$m-3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m，
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴當m=3時，△PAC的面積最大為$\frac{27}{4}$．
∵當m=3時，-$\frac{1}{4}$m²+2m-3=$\frac{3}{4}$，
∴P點坐標為（3，$\frac{3}{4}$）．
綜上：P點的位置是（3，$\frac{3}{4}$），△PAC的最大面積是$\frac{27}{4}$．
（3）判斷直線BD與⊙C相離．
證明：令-$\frac{1}{4}$（x-4）²+1=0，解得x₁=2，x₂=6，
∴B點坐標（2，0）．
又∵拋物線交y軸于點A，
∴A點坐標為（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
設⊙C與對稱軸l相切于點F，則⊙C的半徑CF=2，
作CE⊥BD于點E，如圖2，則∠BEC=∠AOB=90°．

∵∠ABD=90°，
∴∠CBE=90°-∠ABO．
又∵∠BAO=90°-∠ABO，
∴∠BAO=∠CBE．
∴△AOB∽△BEC，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{CE}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{13}}$，
∴CE=$\frac{8}{\sqrt{13}}$＞2．
∴直線BD與⊙C相離．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用、相似三角形的判定及性質等知識，解題的關鍵：（1）利用頂點設出頂點式，再由點在拋物線上即可求出拋物線的解析式；（2）利用配方法解決極值問題；（3）利用相似三角形的性質，找到邊與邊的關系，求出CE后再與半徑進行比較．