Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC⊥x軸于點(diǎn)C，且AC＝BC，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E是線段AB上一動點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于b、c的方程組，從而可求得b、c的值；

（2）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x+1），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（x，x2﹣2x﹣3），則可得到EF與x的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得EF的最大值以及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）存在，分兩種情況考慮：（i）過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），由E的縱坐標(biāo)與P縱坐標(biāo)相等列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出P1，P2的坐標(biāo)；（ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3），根據(jù)F的縱坐標(biāo)與P的縱坐標(biāo)相等列出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，求出P3的坐標(biāo)，綜上得到所有滿足題意P得坐標(biāo)．

（1）∵A（﹣1，0）、C（4，0），

∴OA＝1，OC＝4，

∴AC＝5，

∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且AC＝BC，

∴B（4，5），

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．

（2）∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：y＝x+1，

∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，

∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），

∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），

∴當(dāng)t＝時(shí)，EF的最大值為，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．

（3）存在，分兩種情況考慮：

（ⅰ）過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），

∴，

∴m1=，m2=

∴P1（，），P2（，）

（ⅱ）過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3）

則有：n2﹣2n﹣3＝﹣

∴n1=, n2=（舍去）

∴P3（，），

綜上所述，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形所有點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（，），P2（，），P3（，）．