【題目】如圖,已知點(diǎn)A(0,4),B(2,0).
(1)求直線AB的函數(shù)解析式;
(2)已知點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),以M為頂點(diǎn)的拋物線y=(x﹣m)2+n與線段OA交于點(diǎn)C.
①求線段AC的長(zhǎng);(用含m的式子表示)
②是否存在某一時(shí)刻,使得△ACM與△AMO相似?若存在,求出此時(shí)m的值.
【答案】
(1)
解:設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b.
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B坐標(biāo)為(2,0),
∴ ,解得: ,
即直線AB的函數(shù)解析式為y=﹣2x+4
(2)
解:①∵以M為頂點(diǎn)的拋物線為y=(x﹣m)2+n,
∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n).
∵點(diǎn)M在線段AB上,∴n=﹣2m+4,
∴y=(x﹣m)2﹣2m+4.
把x=0代入y=(x﹣m)2﹣2m+4,
得y=m2﹣2m+4,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,m2﹣2m+4),
∴AC=OA﹣OC=4﹣(m2﹣2m+4)=﹣m2+2m;
②存在某一時(shí)刻,能夠使得△ACM與△AMO相似.理由如下:
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣2m+4),
∴AD=OA﹣OD=4﹣(﹣2m+4)=2m.
∵M(jìn)不與點(diǎn)A、B重合,∴0<m<2,
又∵M(jìn)D=m,∴AM= = m.
∵在△ACM與△AMO中,∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,
∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí),假設(shè)△ACM∽△AMO,
∴ ,即 ,
整理,得 9m2﹣8m=0,解得m= 或m=0(舍去),
∴存在一時(shí)刻使得△ACM與△AMO相似,且此時(shí)m= .
【解析】(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為:y=kx+b,將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入,運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式;(2)①先由拋物線的頂點(diǎn)式為y=(x﹣m)2+n得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,n),由點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),得出n=﹣2m+4,則y=(x﹣m)2﹣2m+4,再求出拋物線y=(x﹣m)2+n與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),然后根據(jù)AC=OA﹣OC即可求解;②過(guò)點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣2m+4),AD=OA﹣OD=2m,由勾股定理求出AM= m.在△ACM與△AMO中,由于∠CAM=∠MAO,∠MCA>∠AOM,所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí),只能是△ACM∽△AMO,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 ,即 ,解方程求出m的值即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求m的取值范圍;
(2)若m為負(fù)整數(shù),求此時(shí)方程的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn),DE、DF分別交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF.
(1)如果CA=CB,求證:AE2+BF2=EF2;
(2)如圖2,如果CA<CB,(1)中結(jié)論還能成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】下列命題為真命題的是
A.有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
B.方程x2+2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C.面積之比為1∶2的兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比是1∶4
D.順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心,以相同的長(zhǎng)(大于 AC)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N , 作直線MN交AB于點(diǎn)D , 交AC于點(diǎn)E , 連接CD . 則DE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=22.5°,斜邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)F在AC上,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,CE=CF,連接BF,DE.線段DE和BF在數(shù)量和位置上有什么關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】初中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中使用計(jì)算器的現(xiàn)象越來(lái)越普遍,某校一興趣小組隨機(jī)抽查了本校若干名學(xué)生使用計(jì)算器的情況.以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制出的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,完成下列問(wèn)題:
(1)這次抽查的樣本容量是;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全上述條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若從這次接受調(diào)查的學(xué)生中,隨機(jī)抽查一名學(xué)生恰好是“不常用”計(jì)算器的概率是多少?
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【題目】應(yīng)用探究題 在圖①中,已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為a,b,將線段A1A2向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到B1B2的位置,得到封閉圖形A1A2B2B1(即陰影部分).
在圖②中,將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度到折線B1B2B3的位置,得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1(即陰影部分).
(1)在圖③中,請(qǐng)你畫(huà)一條類(lèi)似的有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用陰影表示;
(2)請(qǐng)你分別寫(xiě)出前三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:S1,S2,S3;
(3)聯(lián)想與探索:
如圖④,在一塊長(zhǎng)方形草地上,草地的長(zhǎng)和寬仍分別為a,b,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位長(zhǎng)度),請(qǐng)你猜想空白部分表示的草地面積是多少,并說(shuō)明你的猜想是正確的.
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