【題目】如圖,射線AM平行于射線BN,∠B=90°,AB=4,C是射線BN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AC,作CD⊥AC,且AC=2CD,過(guò)C作CE⊥BN交AD于點(diǎn)E,設(shè)BC長(zhǎng)為a.
(1)求△ACD的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(2)求點(diǎn)D到射線BN的距離(用含有a的代數(shù)式表示);
(3)是否存在點(diǎn)C,使△ACE是以AE為腰的等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1);(2)a;(3)存在,a的值為2或4+8
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)勾股定理得出AC,進(jìn)而得出CD,最后用三角形的面積公式即可;
(2)先判斷出∠FDC=∠ACB,進(jìn)而判斷出△DFC∽△CBA,得出,即可求出DF,即可;
(3)分兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解即可得出結(jié)論.
解:(1)在Rt△ABC中,AB=4,BC=a,
∴AC==,
∴CD=AC=,
∵∠ACD=90°,
∴S△ACD=ACCD=.
(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BN于點(diǎn)F,
∵∠FDC+∠FCD=90°,∠FCD+∠ACB=180°﹣90°=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴∠FDC=∠ACB,
∵∠B=∠DFC=90°,
∴△DFC∽△CBA,
∴,
∴DF=BC=a,
∴D到射線BN的距離為a;
(3)存在,①當(dāng)EC=EA時(shí),
∵∠ACD=90°,
∴EC=EA=AD,
∵AB∥CE∥DF,
∴BC=FC=a,
由(2)知,△DFC∽△CBA,
∴,
∴FC=AB=2,
∴a=2,
②當(dāng)AE=AC時(shí),如圖2,AM⊥CE,
∴∠1=∠2,
∵AM∥BN,
∴∠2=∠4,
∴∠1=∠4,
由(2)知,∠3=∠4,
∴∠1=∠3,
∵∠AGD=∠DFC=90°,
∴△ADG∽△DCF,
∴,
∵AD==,AG=a+2,CD=,
∴,
∴a=4+8,
即:滿足條件的a的值為2或4+8.
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【題目】如圖,長(zhǎng)方形紙片ABCD中,已知AD=8,AB=6,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,則CE的長(zhǎng)為 .
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【題目】今年以來(lái),CPI(居民消費(fèi)價(jià)格總水平)的不斷上漲已成熱門話題。已知某種食品在9月份的售價(jià)為8.1元/kg,11月份的售價(jià)為10元/kg。求這種食品平均每月上漲的百分率是多少?設(shè)這種食品平均上漲的百分率是x,根據(jù)題意可列方程為( )
A.8.1(1+2x)=10
B.8.1(1+x)=10
C.10(1-2x)=8.1
D.10(1-x)=8.1
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【題目】在中, , ,點(diǎn)、 分別在射線、上(點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合),且保持.
①若點(diǎn)在線段上(如圖),且,求線段的長(zhǎng);
②若, ,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的取值范圍;
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【題目】若點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)B(5,﹣7)關(guān)于x軸對(duì)稱,則m+n的值是( 。
A. 2 B. ﹣2 C. 12 D. ﹣12
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