Question

（2012•浦東新區(qū)二模）如圖，在直角坐標系中，⊙P的圓心是P（a，2）（a＞0），半徑為2；直線y=x被⊙P截得的弦長為2

3

，則a的值是

2-

2

或2+

2

．

Answer 1

分析：分為兩種情況：①當P在直線y=x的左邊時，過P₁D⊥AB于D，由垂徑定理求出AD、由勾股定理求出P₁D，過P₁作P₁D∥直線y=x，交y軸于D，過D作DB⊥直線y=x于B，得出DB=P₁D=1，OB=DB=1，由勾股定理求出DO，得出直線P₁D的解析式是y=x+

2

，把P（a，2）代入求出a即可；②與①解法類似，當P在直線y=x的右邊時，同法得出直線的解析式y(tǒng)=x-

2

，把p（a，2）代入求出a的另一個值．

解答：解：分為兩種情況：

①當P在直線y=x的左邊時，過P₁D′⊥AB于D′，
由垂徑定理得：AD′=

1

2

×2

3

=

3

，
∵P₁A=2，由勾股定理得：P₁D=1，
過P₁作P₁D∥直線y=x，交y軸于D，過D作DB⊥直線y=x于B，則DB=P₁D=1，
∵直線y=x，
∴∠DOB=45°，
∴OB=DB=1，由勾股定理得：DO=

2

，
∵直線P₁D∥直線y=x，
∴直線P₁D的解析式是y=x+

2

（即把直線y=x相上平移

2

個單位），
∴把P（a，2）代入得：2=a+

2

，
∴a=2-

2

，
②當P在直線y=x的右邊時，與①解法類似，P₂M=ON=1，
由勾股定理得OH=

2

，
把直線y=x向下平移

2

個單位得出直線y=x-

2

，
把p（a，2）代入求出a的另一個值是2+

2

．
故答案為：2-

2

或2+

2

．

點評：本題考查了等腰三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識點，主要考查學生的分析問題和解決問題的能力，注意：此題要進行分類討論．