【題目】如圖1,PRtABC所在平面內(nèi)任意一點(不在直線AC),∠ACB=90°,MAB邊中點.操作:以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC,連結(jié)PM并延長到點E,使ME=PM,連結(jié)DE

1)請你利用圖2,選擇RtABC內(nèi)的任意一點P按上述方法操作;

2)經(jīng)歷(1)之后,觀察兩圖形,猜想線段DE和線段BC之間有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請選擇其中的一個圖形證明你的猜想;

3)觀察兩圖,你還可得出ACDE相關(guān)的什么結(jié)論?請說明理由.

4)若以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,其中AC、D的坐標分別為(0,0),(5,3),(4,2),能否在平面內(nèi)找到一點M,使以AC、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形,若不能,說明理由,若能,請直接寫出點M的坐標.

【答案】1)見解析;(2DE//BC;DE=BC;(3DEAC;(4M1,1)或(-1,-1)或(95).

【解析】

1)根據(jù)圖1的構(gòu)圖條件,在RtABC內(nèi)的任取一點P,作圖即可;

2)連接BE,根據(jù)邊角邊可證△PAM和△EBM全等,可得EBPA既平行又相等,而PACD既平行且相等,所以DEBC平行相等,

3)由(2)得BCAC,DEBC,所以DE也和AC垂直;

4)以AC、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形的頂點順序沒定,故有三種情況:分別過點A,CD作線段CD,AD,AC的平行線,三條直線的交點即為能以A、C、DM為點構(gòu)造成平行四邊形的點M的位置,再利用平行四邊形的性質(zhì)及平移知識即可求得點M 的坐標

解:(1)作圖如圖2

2)觀察圖1,圖2,猜想線段DE和線段BC數(shù)量和位置關(guān)系為:DE=BC,DE//BC

選擇圖1,證明如下:

連接BE,

PM=ME,∠PMA=EMBAM=MB,

∴△PMA≌△EMB.(SAS

PA=BE,∠MPA=MEB

PABE

∵平行四邊形PADC,

PADC,PA=DC

BEDC,BE=DC,

∴四邊形DEBC是平行四邊形.

DEBC,DE=BC

3)猜想DEAC;理由如下:

∵∠ACB=90°,

BCAC

又∵DEBC,(已證)

DEAC

3)如圖3

分別過點A,CD作線段CD,ADAC的平行線,三條直線分別相交于點 ,則得到即為滿足條件的點M,使以AC、D、M為點構(gòu)造成平行四邊形.理由如下:

AC//DM1,CD//AM1

∴四邊形ACDM1為平行四邊形,

同理可得:四邊形ACM2D為平行四邊形,四邊形ADCM3為平行四邊形.

設(shè)M1的坐標為(x,y,

由于四邊形ACDM1為平行四邊形,

AC//M1D,AC=M1D.可以看做線段AC經(jīng)過適當?shù)钠揭频骄段M1D.

CD為對應點,AM1為對應點,

易知:點C(5,3)向左平移一個單位,向下平移一個單位得到D(4,2).

故點A也向左平移一個單位,向下平移一個單位得到M1(x,y),

0-1=x0-1=y,所以x=-1y=-1.M1的坐標為(-1,-1),同理可得

M2的坐標為(9,5),M3的坐標為(1,1.

故存在M點,分別為(1,1)或(-1,-1)或(9,5).使以AC、DM為點構(gòu)造成平行四邊形

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