Question

已知：如圖，△ABC中，AB=BC=CA=6，BC在x軸上，BC邊上的高線AO在y軸上，直線△APC點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（與線段BC沒有交點(diǎn)）．設(shè)與AB、l、x軸相切的⊙O₁的半徑為r₁，與AC、l、x軸相切的⊙O₂的半徑為r₂
（1）當(dāng)直線l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)到任何位置時(shí)，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最小，為什么？
（2）若r1-r2=

3

，求圖象經(jīng)過點(diǎn)O₁、O₂的一次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)分別為M、N、D、G．由切線長(zhǎng)定理得MN+DG=AB+BC+AC=18，DB+CG=3．連接O₁D、O₁B，可求得DB=

3

3

r1．同理CG=

3

3

r2，則r1+r2=3

3

．⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]．當(dāng)r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時(shí)，S最��；
（2）由（1）得r1+r2=3

3

，結(jié)合r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°可知O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．設(shè)圖象經(jīng)過點(diǎn)O₁、O₂的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法可解得直線O₁、O₂的解析式y=-

3

9

x+

13 3

9

．

解答：解：（1）當(dāng)l∥x軸時(shí)，⊙O₁、⊙O₂的面積之和最小．      
如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為M、N、D、G．
由切線長(zhǎng)定理得MN+DG=AB+BC+AC=18．
∵M(jìn)N=DG，
∴DG=9，
∴DB+CG=3．
連接O₁D、O₁B，
∴O₁D⊥BD，∠DBO₁=60°，
∴DB=

3

3

r1．
同理CG=

3

3

r2．
∴r1+r2=3

3

．                     
∵⊙O₁、⊙O₂的面積之和S=πr12+π(3

3

-r1)2
=2π[(r1-

3 3

2

)2+

27

4

]
∴當(dāng)r1=r2=

3 3

2

，即l∥x軸時(shí)，S最�。�

（2）由（1）得r1+r2=3

3

，
∵r1-r2=

3

，∠BDH=∠ADC=90°，
∴O1(-5，2

3

)，O2(4，

3

)．             
設(shè)圖象經(jīng)過點(diǎn)O₁、O₂的一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
則

-5k+b=2 3 4k+b= 3

，
解得

k=- 3 9 b= 13 3 9

∴直線O₁、O₂的解析式為y=-

3

9

x+

13 3

9

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和圓中的有關(guān)性質(zhì)來表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，利用切線長(zhǎng)和半徑的特點(diǎn)找到相等關(guān)系利用方程組求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．