Question

已知拋物線的頂點(diǎn)是C（0，a） （a>0，a為常數(shù)），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2a，2a），點(diǎn)D（0，2a）為一定點(diǎn)。
（1）求含有常數(shù)a的拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線任意一點(diǎn)，過(guò)P作PH⊥x軸，垂足是H，求證：PD=PH；
（3）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線在第一象限相交于A、B兩點(diǎn)，若DA=2DB，且S_△ABD=4，求a的值。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=kx2+a， ∵點(diǎn)D（2a，2a）在拋物線上， 4a2k+a=2a， ∴k=， ∴拋物線的解析式為y=x2+a；
（2）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P（x，y），過(guò)P作PH⊥x軸，PG⊥y軸， 在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2， ∵y=x2+a ∴x2= 4a×（y-a）=4ay-4a2， ∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2， ∴PD=PH。
（3）過(guò)B點(diǎn)BE⊥x軸，AF⊥x軸， 由（2）的結(jié)論：BE=DB AF=DA， ∵DA=2DB， ∴AF=2BE， ∴AO=2BO， ∴B是OA的中點(diǎn)， ∴C是OD的中點(diǎn)， 連結(jié)BC， ∴BC===BE=DB， 過(guò)B作BR⊥y軸， ∵BR⊥CD， ∴CR=DR，OR=a+=， ∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，又點(diǎn)B在拋物線上， ∴=x2+a， ∴x2=2a2， ∵x>0， ∴x=a， ∴B （a，） AO=2OB， ∴S△ABD=S△OBD=4 所以，×2a×a=4 ∴a2=4， ∵a>0， ∴a=2。