【題目】已知拋物線y=x2+1(如圖所示).
(1)填空:拋物線的頂點坐標(biāo)是(______),_____),對稱軸是_____;
(2)已知y軸上一點A(0,2),點P在拋物線上,過點P作PB⊥x軸,垂足為B.若△PAB是等邊三角形,求點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點M在直線AP上.在平面內(nèi)是否存在點N,使四邊形OAMN為菱形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】 (0,1) y軸(或x=0) P1(2,4),P2(﹣2,4) 見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標(biāo)和對稱軸即可;(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4,將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐 標(biāo),代入解析式即可求得P點的縱坐標(biāo);(3)首先求得直線AP的解析式,然后設(shè)出點M的坐標(biāo),利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點的橫坐標(biāo)的方程,求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo),
試題解析:(1)頂點坐標(biāo)是(0,1),對稱軸是y軸(或x=O).
(2)∵△PAB是等邊三角形,∴∠ABO=90°﹣60°=30°.∴AB=20A=4.∴PB=4.
解法一:把y=4代入y=x2+1,得 x=±2.∴P1(2,4),P2(﹣2,4).
解法二:∴OB==2
∴P1(2,4),根據(jù)拋物線的對稱性,得P2(﹣2,4).
(3)∵點A的坐標(biāo)為(0,2),點P的坐標(biāo)為(2,4)
∴設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b
∴
解得:
∴解析式為:y=x+2
設(shè)存在點N使得OAMN是菱形,
∵點M在直線AP上,
∴設(shè)點M的坐標(biāo)為:(m, m+2)
如圖,作MQ⊥y軸于點Q,則MQ=m,AQ=OQ﹣OA=m+2﹣2=m
∵四邊形OAMN為菱形,
∴AM=AO=2,
∴在直角三角形AMQ中,AQ2+MQ2=AM2,
即:m2+(m)2=22
解得:m=±
代入直線AP的解析式求得y=3或1,
當(dāng)P點在拋物線的右支上時,分為兩種情況:
當(dāng)N在右圖1位置時,
∵OA=MN,
∴MN=2,
又∵M(jìn)點坐標(biāo)為(,3),
∴N點坐標(biāo)為(,1),即N1坐標(biāo)為(,1).
當(dāng)N在右圖2位置時,
∵M(jìn)N=OA=2,M點坐標(biāo)為(﹣,1),
∴N點坐標(biāo)為(﹣,﹣1),即N2坐標(biāo)為(﹣,﹣1).
當(dāng)P點在拋物線的左支上時,分為兩種情況:
第一種是當(dāng)點M在線段PA上時(PA內(nèi)部)我們求出N點坐標(biāo)為(﹣,1);
第二種是當(dāng)M點在PA的延長線上時(在第一象限)我們求出N點坐標(biāo)為(,﹣1)
∴存在N1(,1),N2(﹣,﹣1)N3(﹣,1),N4(,﹣1)使得四邊形OAMN是菱形.
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【題目】為執(zhí)行“均衡教育”政策,我縣2015年投入教育經(jīng)費2500萬元,預(yù)計2017年投入3600萬元,若每年投入教育經(jīng)費的年平均增長百分率為x,則下列方程正確的是( )
A.2500(1+x)2=3600
B.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
C.2500(1﹣x)2=3600
D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3600
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【題目】(1)如圖①②,銳角的正弦值和余弦值都隨著銳角的變化而變化.試探索隨著銳角度數(shù)的增大,它的正弦值和余弦值變化的規(guī)律.
(2)根據(jù)你探索到的規(guī)律,試比較18°,34°,50°,62°,88°這些銳角的正弦值的大小和余弦值的大小.
(3)比較大小(在橫線上填寫“<”“>”或“=”):
若α=45°,則sin α cos α;
若α<45°,則sin α cos α;
若α>45°,則sin α cos α.
(4)利用互為余角的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系,試比較下列正弦值和余弦值的大小:sin 10°,cos 30°,sin 50°,cos 70°.
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【題目】平面直角坐標(biāo)系y軸上有一點P(m-1,m+3),則P點坐標(biāo)是( )
A. (-4,0)B. (0,-4)C. (4,0)D. (0,4)
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【題目】如圖,小李在一次高爾夫球選拔賽中,從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去,球的飛行路線為拋物線,如果不考慮空氣阻力,當(dāng)球達(dá)到最大水平高度12米時,球移動的水平距離為9米.已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o,O、A兩點相距8米.
(1)求直線OA的解析式;
(2)求出球的飛行路線所在拋物線的解析式;
(3)判斷小李這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點.
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【題目】在正三角系,正方形,正五邊形,正六邊形這幾個圖形中,單獨選用一種圖形不能進(jìn)行平面鑲嵌的圖形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形
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