Question

（2005•青島）如圖，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)t秒（0＜t＜5）后，四邊形ABQP的面積為S米²．
（1）求面積S與時(shí)間t的關(guān)系式；
（2）在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛BQP是不規(guī)則的四邊形，它的面積S不能直接求出．而△ABC的面積可以求出，△PCQ的面積可以用t表示，所以s可以用這兩個(gè)三角形的面積之差表示．這樣關(guān)系式就可以求出了．
（2）假設(shè)四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則能得到關(guān)于t的一元二次方程，求解即可．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于E
Rt△ABC中，AC==10（米）
由題意知：AP=2t，CQ=t，則PC=10-2t
由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB
∴
即：=，
∴PE=（10-2t）=-t+6
又∵S_△ABC=×6×8=24
∴S=S_△ABC-S_△PCQ=24-•t•（-t+6）=t²-3t+24
即：S=t²-3t+24（8分）

（2）假設(shè)四邊形ABQP與△CPQ的面積相等，則有：
t²-3t+24=12
即：t²-5t+20=0
∵b²-4ac=（-5）²-4×1×20＜0
∴方程無(wú)實(shí)根
∴在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABQP與△CPQ的面積不能相等．
點(diǎn)評(píng)：此題首先會(huì)用勾股定理和平行線分線段成比例的性質(zhì)求AC和PE，然后用面積的割補(bǔ)法求函數(shù)解析式．（2）中要會(huì)導(dǎo)出一元二次方程，然后用判別式判斷即可．這道題關(guān)鍵在于面積的割補(bǔ)法．