Question

如圖，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（Ⅰ）直接寫出點E、F的坐標；
（Ⅱ）若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，當四邊形MNFE的周長最小時，求出點M、N的坐標，并求出周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，可以知道四邊形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標就可以求出．
（Ⅱ）作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M，N，則點M，N就是所求點．
求出線段E′F′的長度，就是四邊形MNFE的周長的最小值．

解答：（本小題10分）
解：（Ⅰ）E（3，1）；F（1，2）．（2分）
（Ⅱ）如圖，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，
作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別
與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，
此時四邊形MNFE的周長最小．（4分）
∴E′（3，-1），F(xiàn)′（-1，2），
設(shè)直線E′F′的解析式為y=kx+b，
有

3k+b=-1 -k+b=2.

解這個方程組，得

k=- 3 4 b= 5 4 .

∴直線E′F′的解析式為y=-

3

4

x+

5

4

．
當y=0時，x=

5

3

，
∴M點的坐標為（

5

3

，0）．
當x=0時，y=

5

4

，
∴N點的坐標為（0，

5

4

）．（7分）
∵E與E′關(guān)于x軸對稱，F(xiàn)與F′關(guān)于y軸對稱，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，F′E′=

F′B2+E′B2

=

42+32

=5．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，EF=

BE2+BF2

=

12+22

=

5

．
∴FN+NM+ME+EF=5+

5

，
即四邊形MNFE的周長最小值是5+

5

．（10分）

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求線段的和最小的問題基本的解決思路是根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離的問題．