如圖1,點(diǎn)A在y軸的正半軸上,以O(shè)A為邊作等邊三角形AOC.
(1)點(diǎn)B是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如圖1當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)D的位置時(shí),連接AD,請你在第一象限內(nèi)確定點(diǎn)E,使△ADE是等邊三角形(保留作圖痕跡,不寫作法和證明).
(2)在(1)的條件下,在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中,∠ACE的大小是否發(fā)生變化?若不變,求出其度數(shù);若變化,請說明理由.
(3)如圖2,把你在(1)中所作的正△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在y軸的正半軸上E′的位置,得到正△AE′D′,連接CE′、OD′交于點(diǎn)F.現(xiàn)在給出兩個(gè)結(jié)論:①AF平分∠CAD′;②FA平分∠OFE′,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,請你判斷哪個(gè)結(jié)論是正確的,并進(jìn)行證明.
分析:(1)分別以A和D為圓心,AD為半徑畫弧,取在第一象限的交點(diǎn)E,連接AE、DE即可;
(2)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD=AE,AO=AC,∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°,推出∠OAD=∠CAE,根據(jù)SAS證△ACE≌△AOD,推出∠ACE=∠AOD即可;
(3)②FA平分∠OFE′是正確的,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出△CAE′≌△OAD′,推出AN=AM,根據(jù)角平分線性質(zhì)推出即可;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠FAE′≠∠FAO,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出∠E′AD′=∠CAO,即可推出①是錯(cuò)誤的.
解答:(1)解:如下圖:分別以A和D為圓心,AD為半徑畫弧,取在第一象限的交點(diǎn)E,連接AE、DE,則三角形ADE是所求的等邊三角形.
(2)∠ACE的大小不發(fā)生變化,總等于90°,
理由:
根據(jù)題意,有AD=AE,AO=AC,
∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°,
∴∠OAD=∠CAE,
在△ACE和△AOD中
AE=AD
∠EAC=∠OAD
AO=AC
,
∴△ACE≌△AOD(SAS)
∴∠ACE=∠AOD=90°,
即∠ACE的大小不發(fā)生變化,總等于90°.

(3)解:第二個(gè)結(jié)論②FA平分∠OFE′是正確的,
理由是:過A分別作AM⊥OD′于M,AN⊥CE′于N,
在△OAD′和△CAE′中
AE′=AD′
∠E′AC=∠D′AO
AO=AC
,
∵△OAD′≌△CAE′(SAS),
∴CE′=OD′,
∴AM=AN(全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等),
∵AN⊥CE′,AM⊥OD′,
∴∠AFN=∠AFM,
即FA平分∠OFE,∴②正確;
∵FE和OF不相等,
∴∠FAE不一定等于∠FAO,
∵∠EAD′=∠CAO=60°,
∴∠D′AF不一定等于∠FAC,
∴①錯(cuò)誤;
即只有②正確.
點(diǎn)評:本題考查了對等邊三角形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),角平分線定義,作圖-復(fù)雜圖形,旋轉(zhuǎn)性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用,此題綜合性比較強(qiáng),有一點(diǎn)難度,主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知:如圖1,點(diǎn)O1在x軸的正半軸上,⊙O1與x軸交于C、D兩點(diǎn),半徑為4的⊙O與x軸的負(fù)半軸交于G點(diǎn).⊙O與⊙O1的交點(diǎn)A、B在y軸上,設(shè)⊙O1的弦AC的延長線交⊙O于F點(diǎn),連接GF,且AF=2
2
GF
(1)求證:C為線段OG的中點(diǎn);
(2)連接AO1,作⊙O1的弦DE,使DE∥AO1,求E點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)如圖2,線段EA、EB(或它們的延長線)分別交⊙O于點(diǎn)M、N.精英家教網(wǎng)問:當(dāng)點(diǎn)E在(不含端點(diǎn)A、B)上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段MN的長度是否會(huì)發(fā)生變化?試證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線PA交雙曲線y=
1
x
于點(diǎn)A,連接OA并延長,與雙曲線y=
1
x
交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接AH、PF.
精英家教網(wǎng)
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為
3
2
時(shí),求四邊形APFH的面積.
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B,連接BO并延長,與雙曲線y=
1
x
交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接BH、DF,求四邊形BDFH的面積.
(3)若雙曲線的解析式為y=
k
x
,四邊形BDFH的面積為
 
.(直接寫出答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線PA交雙曲線數(shù)學(xué)公式于點(diǎn)A,連接OA并延長,與雙曲線數(shù)學(xué)公式交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接AH、PF.
作業(yè)寶
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為數(shù)學(xué)公式時(shí),求四邊形APFH的面積.
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B,連接BO并延長,與雙曲線數(shù)學(xué)公式交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接BH、DF,求四邊形BDFH的面積.
(3)若雙曲線的解析式為數(shù)學(xué)公式,四邊形BDFH的面積為______.(直接寫出答案)

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點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線PA交雙曲線于點(diǎn)A,連接OA并延長,與雙曲線交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接AH、PF.

(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí),求四邊形APFH的面積.
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在x軸的正方向上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,過點(diǎn)D作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B,連接BO并延長,與雙曲線交于點(diǎn)F,F(xiàn)H垂直于x軸,垂足為點(diǎn)H,連接BH、DF,求四邊形BDFH的面積.
(3)若雙曲線的解析式為,四邊形BDFH的面積為______.(直接寫出答案)

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