Question

（2013•石景山區(qū)二模）（1）如圖1，把拋物線y=-x²平移后得到拋物線C₁，拋物線C₁經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，它的對稱軸與拋物線y=-x²交于點(diǎn)Q，則拋物線C₁的解析式為

y=-x²-4x

；圖中陰影部分的面積為

8

．
（2）若點(diǎn)C為拋物線C₁上的動點(diǎn)，我們把∠ACO=90°時的△ACO稱為拋物線C₁的內(nèi)接直角三角形．過點(diǎn)B（1，0）做x軸的垂線l，拋物線C₁的內(nèi)接直角三角形的兩條直角邊所在直線AC、CO與直線l分別交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的⊙D與x軸交于E、F兩點(diǎn)，如圖2．請問：當(dāng)點(diǎn)C在拋物線C₁上運(yùn)動時，線段EF的長度是否會發(fā)生變化？請寫出并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）拋物線C₁與拋物線y=-x²的二次項(xiàng)系數(shù)相同，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式，圖中陰影部分的面積與△POQ的面積相同，利用三角形面積公式即可求解；
（2）易證△ABM∽△NBO，可以證得MB•NB=AB•BO=5，然后證明△MBF∽△FBN，證得BF²=MB•NB=5，即可求得BF的長，則EF即可求得．

解答：（1）解：拋物線C₁的解析式為y=-（x-0）（x+4）=-x²-4x；
圖中陰影部分的面積與△POQ的面積相同，S△POQ=

1

2

×8×2=8．
∴陰影部分的面積為8．

（2）由題意可知，拋物線C₁只存在兩個內(nèi)接直角三角形．
當(dāng)點(diǎn)C在拋物線C₁上運(yùn)動時線段EF的長度不會發(fā)生變化．
證明：∵M(jìn)N為⊙D的直徑，EF⊥MN
∴BE=BF，∠OBN=∠MBF=∠MBA=90°
∵∠MAB=∠CNM，
∴△ABM∽△NBO
∴

MB

BO

=

AB

NB

，MB•NB=AB•BO=5
連接FM，F(xiàn)N，∠MFN=90°，在△MBF和△FBN中，∠BMF=∠BFN，∠MBF=∠FBN=90°
∴△MBF∽△FBN
∴

BF

BN

=

BM

BF

∴BF²=MB•NB=5，BF=

5

∴EF=2

5

．

點(diǎn)評：本題是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得BF的長是關(guān)鍵．