Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在直線(xiàn)y=2x上，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為A，OA=5．若拋物線(xiàn)y=

1

6

x2+bx+c過(guò)點(diǎn)O、A兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)y=2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，判斷點(diǎn)C是否在該拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，⊙O₁是以BC為直徑的圓．過(guò)原點(diǎn)O作O₁的切線(xiàn)OP，P為切點(diǎn)（P與點(diǎn)C不重合），拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與O₁相切？若存在，求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將O、A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值；
（2）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)和直線(xiàn)OB的解析式可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出OA、AB、OB的長(zhǎng)；設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為E，連接OC，由于A、C關(guān)于OB對(duì)稱(chēng)，那么OB垂直平分線(xiàn)段AC，則有BC=AB，AE=CE，OA=OC，由此可求出OC、BC的長(zhǎng)，在Rt△BCO中，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法，可求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到AC的長(zhǎng)；過(guò)C作CD⊥x軸于D，易證得△CDA∽△OAB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出AD、CD的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)的坐標(biāo)；然后將C點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）在（2）中已經(jīng)證得BC⊥OC，則OC是⊙O₁的切線(xiàn)，由于P、C不重合，所以P點(diǎn)在第一象限；連接O₁P，若存在符合條件的Q點(diǎn)，那么點(diǎn)Q必為直線(xiàn)O₁P與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，所以解決此題的關(guān)鍵是求出O₁、P的坐標(biāo)；過(guò)O₁作O₁H⊥x軸于H，則O₁H是梯形CDAB的中位線(xiàn)，易得AH=DH=

1

2

AD，由此可得求出AH、DH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)梯形中位線(xiàn)定理即可得到O₁H的長(zhǎng)，由此可求出點(diǎn)O₁的坐標(biāo)；過(guò)P作PF⊥x軸于F，由于OC、OP都是圓的切線(xiàn)，則OC=OP=O₁C=O₁P=5，由此可得四邊形OCO₁P是正方形，得∠POC=90°，根據(jù)等角的余角相等，可證得∠OCD=∠POF，由此可證得△POF≌△COD，即可得到PF、OF的長(zhǎng)，也就得出了P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)O₁P的解析式，聯(lián)立拋物線(xiàn)的解析式，即可得到Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

解答：解：
（1）把O（0，0）、A（5，0）分別代入y=

1

6

x²+bx+c，
得

c=0 25 6 +5b+c=0

，
解得

b=- 5 6 c=0

；
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

6

x²-

5

6

x；

（2）點(diǎn)C在該拋物線(xiàn)上．
理由：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OC，設(shè)AC交OH于點(diǎn)E
∵點(diǎn)B在直線(xiàn)y=2x上，
∴B（5，10）
∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)，
∴OB⊥AC，CE=AE，BC⊥OC，OC=OA=5，BC=BA=10
又∵AB⊥x軸，由勾股定理得OB=5

5

∵S_Rt△OAB=

1

2

AE•OB=

1

2

OA•AB
∴AE=2

5

，∴AC=4

5

；
∵∠OBA+∠CAB=90°，∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAD=∠OBA；
又∵∠CDA=∠OAB=90°，
∴△CDA∽△OAB
∴

CD

OA

=

AD

AB

=

AC

OB

；
∴CD=4，AD=8；
∴C（-3，4）
當(dāng)x=-3時(shí)，y=

1

6

×9-

5

6

×（-3）=4；
∴點(diǎn)C在拋物線(xiàn)y=

1

6

x²-

5

6

x上；

（3）拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)Q，使得以PQ為直徑的圓與⊙O₁相切；
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，連接O₁P，過(guò)點(diǎn)O₁作O₁H⊥x軸于點(diǎn)H；
∵CD∥O₁H∥BA
∴C（-3，4），B（5，10）
又∵O₁是BC的中點(diǎn)，
∴由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得AH=DH=

1

2

AD=4，
∴OH=OA-AH=1，同理可得O₁H=7，
∴點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（1，7）
∵BC⊥OC，∴OC為⊙O₁的切線(xiàn)；
又∵OP為⊙O₁的切線(xiàn)，
∴OC=OP=O₁C=O₁P=5
∴四邊形OPO₁C為正方形，
∴∠POF=∠OCD
又∵∠PFO=∠ODC=90°，
∴△POF≌△OCD
∴OF=CD，PF=OD，
∴P（4，3）
設(shè)直線(xiàn)O₁P的解析式為y=kx+b（k≠0），
把O₁（1，7）、P（4，3）分別代入y=kx+b，
得

k+b=7 4k+b=3

，
解得

k=- 4 3 b= 25 3

；
∴直線(xiàn)O₁P的解析式為y=-

4

3

x+

25

3

；
若以PQ為直徑的圓與⊙O₁相切，則點(diǎn)Q為直線(xiàn)O₁P與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），
則有n=-

4

3

m+

25

3

，n=y=

1

6

m²-

5

6

m
∴-

4

3

m+

25

3

=

1

6

m²-

5

6

m，
整理得m²+3m-50=0
解得m=

-3± 209

2

，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為

-3+ 209

2

或

-3- 209

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、切線(xiàn)的判定和性質(zhì)、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等；涉及知識(shí)點(diǎn)較多，難度很大．