Question

（2013•六合區(qū)一模）如圖，∠AOB=45°，過OA上到點(diǎn)O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點(diǎn)作OA的垂線與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別 為S₁，S₂，S₃，S₄，…．觀察圖中的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）個(gè)黑色梯形的面積是S_n=

8n-4

．

Answer 1

分析：由∠AOB=45°及題意可得出圖中的三角形都為等腰直角三角形，且黑色梯形的高都是2；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示出黑色梯形的上下底，找出第n個(gè)黑色梯形的上下底，利用梯形的面積公式即可表示出第n個(gè)黑色梯形的面積．

解答：解：∵∠AOB=45°，
∴圖形中三角形都是等腰直角三角形，
從圖中可以看出，黑色梯形的高都是2，
第一個(gè)黑色梯形的上底為：1，下底為：3，
第2個(gè)黑色梯形的上底為：5=1+4，下底為：7=1+4+2，
第3個(gè)黑色梯形的上底為：9=1+2×4，下底為：11=1+2×4+2，
則第n個(gè)黑色梯形的上底為：1+（n-1）×4，下底為：1+（n-1）×4+2，
故第n個(gè)黑色梯形的面積為：

1

2

×2×[1+（n-1）×4+1+（n-1）×4+2]=8n-4．
故答案為：8n-4．

點(diǎn)評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)．此題屬于規(guī)律性題目，難度適中，注意找到第n個(gè)黑色梯形的上底為：1+（n-1）×4，下底為1+（n-1）×4+2是解此題的關(guān)鍵．