(2001•貴陽)已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(-1,0)和點B(3,0),且與直線y=kx-4交y軸于點C.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)如果直線y=kx-4經(jīng)過二次函數(shù)的頂點D,且與x軸交于點E,△AEC的面積與△BCD的面積是否相等?如果相等,請給出證明;如果不相等,請說明理由.
【答案】分析:(1)直線y=kx-4中令x=0,解得y=-4,因而直線與y軸的交點坐標是(0,-4),根據(jù)待定系數(shù)法就可以求二次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)公式可以求出拋物線的頂點坐標,把頂點坐標代入函數(shù)y=kx-4就可以求出k的值.
解答:解:(1)在直線y=kx-4中令x=0,
解得y=-4,
因而直線與y軸的交點坐標是(0,-4),
設二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+c.
根據(jù)題意得到:
解得:
則函數(shù)解析式是y=x2-x-4.
(2)拋物線的頂點D的坐標是(1,-),把(1,-)代入y=kx-4得到,
解得k=-
則函數(shù)的解析式是y=-x-4,在解析式中令y=0,
解得x=-3,則E點的坐標是(-3,0).
則AE=2,△ACE的面積是×2×4=4;
過點D作DG⊥y軸與點G,則梯形OGDB的面積是×(1+3)×=;
△CGD的面積是×1×=;
△OBC的面積是×3×4=6.
則△BCD的面積=梯形OGDB的面積-△CGD的面積-△OBC的面積=4,
因而,△AEC的面積與△BCD的面積相等.
點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,是函數(shù)與三角形,梯形相結合的題目.
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