Question

課本中把長(zhǎng)與寬之比為的矩形紙片稱為標(biāo)準(zhǔn)紙．請(qǐng)解決下列問題：
（1）將一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD(AB＜BC)對(duì)開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標(biāo)準(zhǔn)紙．請(qǐng)給予證明；

（2）在一次綜合實(shí)踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD(AB＜BC)進(jìn)行如下操作：
第一步：沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)F處，折痕為AE(如圖2甲)；
第二步：沿過D點(diǎn)的直線折疊，使C點(diǎn)落在AD邊上點(diǎn)N處，折痕為DG(如圖2乙) ．此時(shí)E點(diǎn)恰好落在AE邊上的點(diǎn)M處；
第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時(shí)點(diǎn)G恰好與N點(diǎn)重合．

請(qǐng)你研究，矩形紙片ABCD是否是一張標(biāo)準(zhǔn)紙？請(qǐng)說明理由．
（3）不難發(fā)現(xiàn)，將一張標(biāo)準(zhǔn)紙如圖3一次又一次對(duì)開后，所得的矩形紙片都是標(biāo)準(zhǔn)紙．現(xiàn)有一張標(biāo)準(zhǔn)紙ABCD，AB＝1，BC＝，問第5次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)是多少？探索并直接寫出第2002次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙；（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙；（3），.

試題分析：（1）仔細(xì)分析題意根據(jù)即可作出判斷；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可作出判斷；
（3）分別求出每一次對(duì)折后的周長(zhǎng)，進(jìn)而得出變化規(guī)律求出即可．
試題解析：（1）是標(biāo)準(zhǔn)紙．理由如下：
∵矩形ABCD是標(biāo)準(zhǔn)紙，∴
由對(duì)開的含義知：AF＝
∴
∴矩形紙片ABEF也是標(biāo)準(zhǔn)紙；
（2）是標(biāo)準(zhǔn)紙．理由如下：設(shè)AB＝CD＝a
由圖形折疊可知：DN＝CD＝DG＝a，DG⊥EM
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形
∴在Rt△ADG中，AD＝
∴
∴矩形紙片ABCD是一張標(biāo)準(zhǔn)紙；
（3）第一次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為
第二次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為
第三次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為
第四次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為
第五次對(duì)開后所得標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為
第2012次對(duì)開后所得的標(biāo)準(zhǔn)紙的周長(zhǎng)為.