Question

如圖1，有一個直角三角形ABC，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，AD平分∠BAC，點E在斜邊AB上且AE=AC．
（1）△BED是何特殊三角形？說明理由；
（2）求線段CD的長．
（2）如圖2，若AP²+PC²=2PB²，請說明點P必在對角線AC上．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AE=AC，可判定△ACD≌△AED，由∠C=90°，得∠AED=90°，從而判斷出△BED是直角三角形；
（2）△BDE∽△BAC，利用相似比求得線段CD的長．
（3）將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．

解答：解：（1）△BED是直角三角形，理由是：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵AE=AC，AD為公共邊，
∴△ACD≌△AED，
∴∠AED=∠C=90°，
∴∠BED=90°，
∴△BED是直角三角形；

（2）∵△ACD≌△AED，
∴DC=DE，∠B+∠BDE=90°，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠BDE=∠BAC，
∴△BDE∽△BAC，
∴

DE

AC

=

BD

AB

，
∵兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，
∴

CD

6

=

8-CD

10

，
解得CD=3（cm）．

（2）將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，連接PP′．
得：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=P′C²+PC²=2PB²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．

點評：本題考查了證明兩個三角形全等和相似，以及勾股定理的應(yīng)用．還綜合了旋轉(zhuǎn)及三角形、正方形等相關(guān)知識，難度較大．