【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,BAD、ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G,

AF與BG交于點(diǎn)E.

(1)求證:AFBG,DF=CG;

(2)若AB=10,AD=6,AF=8,求FG和BG的長度.

【答案】(1)見解析2)FG的長度為2,BG的長度為4

【解析】

試題分析:(1)由在平行四邊形ABCD中,BAD、ABC的平分線AF、BG分別與線段CD交于點(diǎn)F、G,易求得2BAF+2ABG=180°,即可得AEB=90°,證得AFBG,易證得ADF與BCG是等腰三角形,即可得AD=DF,BC=CG,又由AD=BC,即可證得DF=CG;

(2)由(1)易求得DF=CG=8,CD=AB=10,即可求得FG的長;過點(diǎn)B作BHAF交DC的延長線于點(diǎn)H,易證得四邊形ABHF為平行四邊形,即可得HBG是直角三角形,然后利用勾股定理,即可求得BG的長.

(1)證明:AF平分BAD,

∴∠DAF=BAF=BAD.

BG平分ABC,

∴∠ABG=CBG=ABC.

四邊形ABCD平行四邊形,

ADBC,ABCD,AD=BC,

∴∠BAD+ABC=180°,

即2BAF+2ABG=180°,

∴∠BAF+ABG=90°.

∴∠AEB=180°﹣(BAF+ABG)=180°﹣90°=90°.

AFBG;

ABCD,

∴∠BAF=AFD,

∴∠AFD=DAF,

DF=AD,

ABCD,

∴∠ABG=CGB,

∴∠CBG=CGB,

CG=BC,

AD=BC.

DF=CG;

(2)解:DF=AD=6,

CG=DF=6.

CG+DF=12,

四邊形ABCD平行四邊形,

CD=AB=10.

10+FG=12,

FG=2,

過點(diǎn)B作BHAF交DC的延長線于點(diǎn)H.

∴∠GBH=AEB=90°.

AFBH,ABFH,

四邊形ABHF為平行四邊形.

BH=AF=8,F(xiàn)H=AB=10.

GH=FG+FH=2+10=12,

在RtBHG中:BG==

FG的長度為2,BG的長度為4

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