Question

如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC沿著MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的D點(diǎn)處．
（1）當(dāng)折痕MN為△ABC的中位線時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（2）試說(shuō)明△BDM與△CND是否相似；
（3）若AM：AN=2：3時(shí)，求S_△ABD：S_△ADC．

Answer 1

解：（1）∵折痕MN為△ABC的中位線，
∴MN∥BC，AD⊥MN，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=BC=3；

（2）根據(jù)題意，得△AMN≌△DMN，則∠MDN=∠MAN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°，
又∠BDM+∠BMD=120°，
∴∠CDN=∠BMD，
又∠B=∠C=60°，
∴△BDM∽△CND；

（3）∵AM：AN=2：3，
∴DM：DN=2：3，
∵△BDM∽△CND，
∴S_△ABD：S_△ADC=4：9．
分析：（1）根據(jù)三角形的中位線定理，得MN∥BC，則此時(shí)AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，得D是BC邊的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可證明三角形相似；
（3）根據(jù)AM：AN=2：3，則DM：DN=2：3，再結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質(zhì)．