已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點A、B,與直線l2數(shù)學(xué)公式相交于點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點E,交直線l2于點D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點M,交直線l2于點N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點P是第四象限內(nèi)一點,且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.


解:(1)聯(lián)立兩直線解析式得:,
解得:,
則C坐標(biāo)為(3,1);
(2)如圖1所示,將x=1代入y=-x+4得:y=-1+4=3;代入y=x得:y=
∴DE=OE-OD=3-=,
∴MN=2DE=
將x=a代入y=-x+4得:y=-a+4;代入y=x得:y=a,
∴MN=|-a+4-a|=,
解得:a=-1或a=7,
則a的值為-1或7;
(3)過O作OQ⊥OP,交BP的延長線于點Q,可得∠POQ=90°,
∵∠BPO=135°,
∴∠OPQ=45°,
∴∠Q=∠OPQ=45°,
∴△POQ為等腰直角三角形,
∴OP=OQ,
∵∠AOB=∠POQ=90°,
∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB,即∠AOP=∠BOQ,
∵OA=OB=4,
=,
∴△AOP∽△BOQ,
∴∠APO=∠BQO=45°,
∴∠APB=∠BPO-∠APO=90°,
則AP⊥BP.
分析:(1)聯(lián)立兩直線解析式得到方程組,求出方程組的解即可確定出C的坐標(biāo);
(2)將x=1代入兩直線方程求出對應(yīng)y的值,確定出D與E的縱坐標(biāo),即OD與OE的長,由OE-OD求出DE的長,根據(jù)MN=2DE,求出MN的長,將x=a代入兩直線方程,求出M與N對應(yīng)的橫坐標(biāo),相減的絕對值等于MN的長列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可求出a的值;
(3)AP⊥BP,理由為:過O作OQ⊥OP,交BP的延長線于點Q,由∠BPO為135°,得到∠OPQ為45°,又∠POQ為直角,可得出三角形OPQ為等腰直角三角形,再利用兩對對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似得到三角形AOP與三角形BOQ相似,由相似三角形的對應(yīng)角相等得到∠APO=∠BQO=45°,由∠BPO-∠APO得到∠APB為直角,即AP⊥BP.
點評:此題屬于一次函數(shù)綜合題,涉及的知識有:相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),兩直線的交點,一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點,以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì),是一道中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•錫山區(qū)一模)已知:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點A、B,與雙曲線y=
m
x
相交于C、D兩點,且點D的坐標(biāo)為(1,6).
(1)當(dāng)點C的橫坐標(biāo)為2時,試求直線AB的解析式,并直接寫出
CD
AB
的值為
1
3
1
3

(2)如圖2,當(dāng)點A落在x 軸的負(fù)半軸時,過點C作x軸的垂線,垂足為E,過點D作y軸的垂線,垂足為F,連接EF.
①判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等,并說明理由;
②當(dāng)
CD
AB
=2時,求tan∠OAB的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點C.
(1)求點C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點E,交直線l2于點D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點M,交直線l2于點N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點P是第四象限內(nèi)一點,且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,OA=OB=OC=2,點P從C點出發(fā),沿y軸正方向以1個單位/秒的速度向上運動,連接PA、PB,精英家教網(wǎng)D為AC的中點.
(1)求直線BC的解析式;
(2)設(shè)點P運動的時間為t秒,問當(dāng)t為何值時,DB與DP垂直且相等?
(3)如圖2,若PA=AB,在第一象限內(nèi)有一動點Q,連接QA、QB、QP,且∠PQA=60°,問:當(dāng)Q在第一象限內(nèi)運動時,∠APQ+∠ABQ的度數(shù)和是否會發(fā)生改變?若不改變,請說明理由,并求其值.

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已知:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,直線y=kx+b與x軸、y軸分別交與點A、B,與雙曲線y=相交于C、D兩點,且點D的坐標(biāo)為(1,6).

(1)當(dāng)點C的橫坐標(biāo)為2時,試求直線AB的解析式,并直接寫出的值為     .

(2)如圖2,當(dāng)點A落在x 軸的負(fù)半軸時,過點C作x軸的垂線,垂足為E,過點D作y軸的垂線,垂足為F,連接EF.①判斷ΔEFC的面積和ΔEFD的面積是否相等,并說明理由;②當(dāng)=2時,求tan∠OAB的值.

 

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已知:如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸交于點,與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點,連結(jié),若.求該反比例函數(shù)的解析式和直線的解析式.

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