【題目】如圖,在⊙O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點(diǎn)N,連接AC,點(diǎn)E在AB上,且AE=CE,過點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.
(1)求證:AC2=AEAB;
(2)試判斷PB與PE是否相等,并說明理由;
(3)設(shè)⊙O的半徑為4,N為OC的中點(diǎn),點(diǎn)Q在⊙O上,求線段PQ的最小值.
【答案】(1)(2)見解析;(3)線段PQ的最小值是﹣4.
【解析】分析:(1)證明△AEC∽△ACB,列比例式可得結(jié)論;
(2)如圖2,證明∠PEB=∠COB=∠PBN,根據(jù)等角對(duì)等邊可得:PB=PE;
(3)如圖3,先確定線段PQ的最小值時(shí)Q的位置:因?yàn)?/span>OQ為半徑,是定值4,則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,先求AE的長(zhǎng),從而得PB的長(zhǎng),最后利用勾股定理求OP的長(zhǎng),與半徑的差就是PQ的最小值.
詳解:證明:(1)如圖1,連接BC,
∵CD為⊙O的直徑,AB⊥CD,
∴=,
∴∠A=∠ABC,
∵EC=AE,
∴∠A=∠ACE,
∴∠ABC=∠ACE,
∵∠A=∠A,
∴△AEC∽△ACB,
∴
∴
(2)PB=PE,理由是:
如圖2,連接OB,
∵PB為⊙O的切線,
∴OB⊥PB,
∴
∴
∵
∴∠PBN=∠COB,
∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A,
∠COB=2∠A,
∴∠PEB=∠COB,
∴∠PEB=∠PBN,
∴PB=PE;
(3)如圖3,∵N為OC的中點(diǎn),
∴
Rt△OBN中,
∴
∵OC=OB,
∴△OCB為等邊三角形,
∵Q為⊙O任意一點(diǎn),
連接PQ、OQ,
因?yàn)?/span>OQ為半徑,是定值4,
則PQ+OQ的值最小時(shí),PQ最小,
當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí),PQ最小,
∴Q為OP與⊙O的交點(diǎn)時(shí),PQ最小,
∴
∴△PBE是等邊三角形,
Rt△OBN中,
∴
設(shè)AE=x,則CE=x,
Rt△CNE中,
∴
Rt△OPB中,
∴
則線段PQ的最小值是
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的分式方程①和一元二次方程②中,m為常數(shù),方程①的根為非負(fù)數(shù).
(1)求m的取值范圍;
(2)若方程②有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2,且m為整數(shù),求方程②的整數(shù)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某司機(jī)在東西路上開車接送乘客,他早晨從A地出發(fā),(去向東的方向正方向),到晚上送走最后一位客人為止,他一天行駛的的里程記錄如下(單位:㎞)
+10 ,— 5, —15 ,+ 30 ,—20 ,—16 ,+ 14
(1) 若該車每百公里耗油 3 L ,則這車今天共耗油 多少升?
(2) 據(jù)記錄的情況,你能否知道該車送完最后一個(gè)乘客是,他在A地的什么方向?距A地多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一列數(shù):,,0,-22,-(+2),-(-4),請(qǐng)回答下列問題:
(1)其中非負(fù)整數(shù)是_______________;(2)到原點(diǎn)距離相等的數(shù)是________________;
(3)畫出數(shù)軸,并在數(shù)軸上表示這一列數(shù),再用“<”連接起來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形OABC的邊OA在數(shù)軸上,O為原點(diǎn),長(zhǎng)方形OABC的面積為15,OC邊長(zhǎng)為3.
(1)數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為 .
(2)將長(zhǎng)方形OABC沿?cái)?shù)軸水平方向移動(dòng),移動(dòng)后的長(zhǎng)方形記為O′A′B′C′(O、A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′、A′、B′、C′),移動(dòng)后的長(zhǎng)方形O′A′B′C′與原長(zhǎng)方形OABC重疊部分的周長(zhǎng)記為L.
①當(dāng)L=10時(shí),移動(dòng)的距離為 ;
②當(dāng)L恰好等于原長(zhǎng)方形OABC周長(zhǎng)的一半時(shí),數(shù)軸上點(diǎn)A′表示的數(shù)為 .
③設(shè)點(diǎn)A的移動(dòng)距離AA′=x.若D為線段AA′的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段OO′上,且OE=OO′,當(dāng)點(diǎn)D,E所表示的數(shù)互為相反數(shù)時(shí),求x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5),B(﹣3,0),C(2,0),將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后使A落在y軸上,與此同時(shí)頂點(diǎn)C恰好落在y=的圖象上,則k的值為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某課外研究小組為了解學(xué)生參加課外體育活動(dòng)的情況,采取抽樣調(diào)查的方法從籃球、排球、乒乓球、足球及其他等五個(gè)方面調(diào)查了若干名同學(xué)的興趣愛好(每人只能選其中一項(xiàng)),并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)在這次考察中一共調(diào)查了 名學(xué)生,請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)被調(diào)查同學(xué)中恰好有5名學(xué)來自初一12班,其中有2名同學(xué)選擇了籃球,有3名同學(xué)選擇了乒乓球,曹老師打算從這5名同學(xué)中選擇兩同學(xué)了解他們對(duì)體育社團(tuán)的看法,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法,求選出的兩人恰好為一人選擇籃球、一人選擇乒乓球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】沙坪壩區(qū)政府決定從2014年11月起到2016年底,兩年時(shí)間創(chuàng)建成為國(guó)家衛(wèi)生城區(qū),轄區(qū)內(nèi)企業(yè)的污水處理通常有兩種方式,一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理,另一種是通過企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理,某企業(yè)每月的污水量均為2500噸,數(shù)量巨大需要兩種處理方式同時(shí)進(jìn)行.由于企業(yè)自身設(shè)備老化等問題,2015年每月自身處理污水量y(噸)與月份x(x取整數(shù))之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=2500﹣100x,該企業(yè)自身處理每噸污水的成本為4元,其余部分由污水廠統(tǒng)一處理,污水廠收取企業(yè)每噸污水處理費(fèi)10元
(1)該企業(yè)2015年哪幾個(gè)月用于污水處理的費(fèi)用不超過12000元?
(2)2016年以來,由于該企業(yè)自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行,該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水全部自身處理,估計(jì)擴(kuò)大產(chǎn)能后2016年每月的污水量都將在2015年每月的基礎(chǔ)上增加a%,同時(shí)每噸污水處理的費(fèi)用將在每噸4元的基礎(chǔ)上增加5(a﹣30)%,為鼓勵(lì)節(jié)能降耗,減輕企業(yè)負(fù)擔(dān),財(cái)政對(duì)企業(yè)處理污水的費(fèi)用進(jìn)行50%的補(bǔ)助,若該企業(yè)每月的污水處理費(fèi)用為8437.5元,請(qǐng)計(jì)算出a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次社會(huì)調(diào)查活動(dòng)中,小華收集到某“健步走運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)中20名成員一天行走的步數(shù),記錄如下:
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
步數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表
組別 | 步數(shù)分組 | 頻數(shù) |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 3 |
E | 9500≤x<10500 | n |
請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:
(1)填空:m= ______ ,n= ______ ;
(2)補(bǔ)全頻數(shù)發(fā)布直方圖;
(3)這20名“健步走運(yùn)動(dòng)”團(tuán)隊(duì)成員一天行走步數(shù)的中位數(shù)落在______ 組;
(4)若該團(tuán)隊(duì)共有120人,請(qǐng)估計(jì)其中一天行走步數(shù)不少于7500步的人數(shù).
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