Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線的圖像與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，頂點C在直線上，將拋物線沿射線 AC的方向平移，

當頂點C恰好落在y軸上的點D處時，點B落在點E處．

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）求平移過程中線段BC所掃過的面積；

（3）已知點F在x軸上，點G在坐標平面內，且以點 C、E、F、G 為頂點的四邊形是矩形，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】 (1)拋物線的解析式為;(2)12; (3)滿足條件的點有F1（，0），F(xiàn)2（，0），F(xiàn)3(，0)，F(xiàn)4(，0).

【解析】分析：（1）根據(jù)對稱軸方程求得b=﹣4a，將點A的坐標代入函數(shù)解析式求得9a+3b+3=0，聯(lián)立方程組，求得系數(shù)的值即可；

（2）拋物線在平移的過程中，線段BC所掃過的面積為平行四邊形BCDE的面積，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和三角形的面積得到：∴．

（3）聯(lián)結CE．分類討論：（i）當CE為矩形的一邊時，過點C作CF1⊥CE，交x軸于點F1，設點F1（a，0）．在Rt△OCF1中，利用勾股定理求得a的值；

（ii）當CE為矩形的對角線時，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧分別交x軸于點F3、F4，利用圓的性質解答．

詳解：（1）∵頂點C在直線x=2上，∴，∴b=﹣4a．

將A（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0，解得：a=1，b=﹣4，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）過點C作CM⊥x軸，CN⊥y軸，垂足分別為M、N．

∵y=x2﹣4x+3═（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）．

∵CM=MA=1，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，∴OD=OA=3．

∵拋物線y=x2﹣4x+3與y軸交于點B，∴B（0，3），∴BD=6．

∵拋物線在平移的過程中，線段BC所掃過的面積為平行四邊形BCDE的面積，∴．

（3）聯(lián)結CE．

∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴點O是對角線CE與BD的交點，即 ．

（i）當CE為矩形的一邊時，過點C作CF1⊥CE，交x軸于點F1，設點F1（a，0）．在Rt△OCF1中，，即 a2=（a﹣2）2+5，解得： ，∴點．

同理，得點；

（ii）當CE為矩形的對角線時，以點O為圓心，OC長為半徑畫弧分別交x軸于點F3、F4，可得： ，得點、．

綜上所述：滿足條件的點有），．