Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∠ECD繞點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且∠ECD=45°,∠ECD的一邊CE交y軸于點(diǎn)F,開始時(shí)另一邊CD經(jīng)過點(diǎn)O,點(diǎn)G坐標(biāo)為（-2,0),當(dāng)∠ECD旋轉(zhuǎn)過程中，射線CD與x軸的交點(diǎn)由點(diǎn)O到點(diǎn)G的過程中，則經(jīng)過點(diǎn)B、C、F三點(diǎn)的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

先確定點(diǎn)B、A、C的坐標(biāo)，①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,2），此時(shí)點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)的圓心為BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為（1,3）；②當(dāng)直線OD過點(diǎn)G時(shí)，利用相似求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上確定圓心在線段BC的垂直平分線上，故縱坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得圓心的坐標(biāo)，由此可求圓心所走的路徑的長度.

∵直線與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

∴B(0,4),A(4,0),

∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

∴C(2,2),

①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,2），此時(shí)點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)的圓心為BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為（1,3）；

②當(dāng)直線OD過點(diǎn)G時(shí)，如圖，

連接CN,OC,則CN=ON=2，∴OC=,

∵G(-2，0),

∴直線GC的解析式為：，∴直線GC與y軸交點(diǎn)M(0，1),

過點(diǎn)M作MH⊥OC,∵∠MOH=45，∴MH=OH=,

∴CH=OC-OH=,

∵∠NCO=∠FCG=45,∴∠FCN=∠MCH,

又∵∠FNC=∠MHC,

∴△FNC∽△MHC,

∴,即，得FN=,∴F(,0),

此時(shí)過點(diǎn)F、B、C三點(diǎn)的圓心在BF的垂直平分線上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，），

則，解得，

當(dāng)∠ECD旋轉(zhuǎn)過程中，射線CD與x軸的交點(diǎn)由點(diǎn)O到點(diǎn)G的過程中，則經(jīng)過點(diǎn)B、C、F三點(diǎn)的圓的圓心所經(jīng)過的路徑為線段，即由BC的中點(diǎn)到點(diǎn)（，），

∴所經(jīng)過的路徑長=.

故選：A.