【題目】將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°).
(1)猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)當(dāng)∠ACE<180°且點E在直線AC的上方時,這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行?若存在,請直接寫出∠ACE所有可能的度數(shù)及對應(yīng)情況下的平行線(不必說明理由);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)∠ACB+∠DCE=180°,理由見解析;(2)存在. 當(dāng)∠ACE=30°時,AD∥BC;當(dāng)∠ACE=45°時,AC∥BE;當(dāng)∠ACE=120°時,AD∥CE;當(dāng)∠ACE=135°時,BE∥CD;當(dāng)∠ACE=165°時,BE∥AD.
【解析】
(1)由∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE可得出結(jié)論;(2)分∠ACE=30°,45°,120°,135°及165°進(jìn)行解答.
(1)∠ACB+∠DCE=180°,理由是:
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°
(2)存在. 當(dāng)∠ACE=30°時,AD∥BC,理由如下,如圖1所示:
∵∠ACE=∠DCB=30°,∠D=30°,
∴∠DCB=∠D,
∴AD∥BC;
當(dāng)∠ACE=∠E=45°時,AC∥BE,理由如下,如圖2所示:
∵∠ACE=∠DCB=45°,∠B=45°,
∴BE⊥CD,
又∵AC⊥CD,
∴AC∥BE;
當(dāng)∠ACE=120°時,AD∥CE,理由如下,如圖3所示:
∵∠ACE=120°,
∴∠DCE=120°-90°=30°,
又∵∠D=30°,
∴∠DCE=∠D,
∴AD∥CE;
當(dāng)∠ACE=135°時,BE∥CD,理由如下,如圖4所示:
∵∠ACE=135°,
∴∠DCE=135°-90°=45°,
∵∠E=45°,
∴∠DCE=∠E,
∴BE∥CD;
當(dāng)∠ACE=165°時,BE∥AD.理由如下:
延長AC交BE于F,如圖5所示:
∵∠ACE=165°,
∴∠ECF=15°,
∵∠E=45°,
∴∠CFB=∠ECF+∠E=60°,
∵∠A=60°,
∴∠A=∠CFB,
∴BE∥AD.
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【題目】如圖O為直線AB上一點,∠AOC=50°,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)求∠BOD的度數(shù);
(2)試判斷OE是否平分∠BOC,并說明理由.
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【題目】已知:如圖,點A、點B是直線l上的兩點,AB=36厘米,點C在線段AB上,且AC=AB,點P、點Q分別從點C、點B同時朝點A方向運動,且點P、點Q運動的速度分別為2厘米/秒、4厘米/秒,若點M是PQ的中點,則經(jīng)過_____秒時線段AM的長為18厘米.
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【題目】點A,O,B依次在直線MN上,如圖1,現(xiàn)將射線OA繞點O順時針方向以每秒10°的速度旋轉(zhuǎn),同時射線OB繞著點O按逆時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn),直線MN保持不動,如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒(t≤12).
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)t=2時,求∠AOB的度數(shù).
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠AOB=105°時,求t的值.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)OA或OB是某一個角(小于180°)的角平分線時,求t的值.
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【題目】在數(shù)學(xué)課上,同學(xué)們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程:
已知:直線和外一點 求作:直線的垂線,使它經(jīng)過點. 做法:如圖:(1)在直線上任取兩點、; (2)分別以點、為圓心,,長為半徑畫弧,兩弧相交于點; (3)作直線. |
參考以上材料作圖的方法,解決以下問題:
(1)以上材料作圖的依據(jù)是 .
(3)已知:直線和外一點,
求作:,使它與直線相切。(尺規(guī)作圖,不寫做法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
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【題目】已知:矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點M、N分別在邊AB、CD上,直線MN交矩形對角線 AC于點E,將△AME沿直線MN翻折,點A落在點P處,且點P在射線CB上.
(1)如圖1,當(dāng)EP⊥BC時,求CN的長;
(2) 如圖2,當(dāng)EP⊥AC時,求AM的長;
(3) 請寫出線段CP的長的取值范圍,及當(dāng)CP的長最大時MN的長.
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【題目】若方程有兩個不相等的實數(shù)根,則m的取值范圍是( )
A. m<9且 B. m>9 C. 0 < m < 9 D. m<9
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【題目】已知A,B,C三點在數(shù)軸上的位置如圖所示,它們表示的數(shù)分別是a,b,c.
(1)填空:abc 0,a+b 0,ab﹣ac 0;(填“>”,“=”或“<”)
(2)若|a|=2且點B到點A,C的距離相等,
①當(dāng)b2=16時,求c的值;
②P是數(shù)軸上B,C兩點之間的一個動點,設(shè)點P表示的數(shù)為x,當(dāng)P點在運動過程中,bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不變,求b的值.
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【題目】如果∠α和∠β互補,且∠α>∠β,則下列表示∠β的余角的式子中:①90°﹣∠β;②∠α﹣90°③(∠α+∠β);④(∠α﹣∠β).正確的有( 。
A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個
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