【題目】如圖,已知直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,OC=3,過點(diǎn)B作BD⊥BC,交OA于點(diǎn)D.將∠DBC繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于E和F.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)當(dāng)BE經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)時(shí),求CF的長;
(3)連接EF,設(shè)△BEF與△BFC的面積之差為S,問:當(dāng)CF為何值時(shí)S最小,并求出這個最小值.
【答案】
(1)
解:由題意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),
則 ,
解得 ;
∴拋物線的解析式為y=﹣ + x+2
(2)
解:設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G,
則G(1, ),過點(diǎn)G作GH⊥AB,垂足為H,
則AH=BH=1,GH= ﹣2= ;
∵EA⊥AB,GH⊥AB,
∴EA∥GH;
∴GH是△BEA的中位線,
∴EA=2GH= ;
過點(diǎn)B作BM⊥OC,垂足為M,則BM=OA=AB;
∵∠EBF=∠ABM=90°,
∴∠EBA=∠FBM=90°﹣∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,
∴FM=EA= ;
∵CM=OC﹣OM=3﹣2=1,
∴CF=FM+CM=
(3)
解:設(shè)CF=a,則FM=a﹣1,
∴BF2=FM2+BM2=(a﹣1)2+22=a2﹣2a+5,
∵△EBA≌△FBM,
∴BE=BF,
則S△BEF= BEBF= (a2﹣2a+5),
又∵S△BFC= FCBM= ×a×2=a,
∴S= (a2﹣2a+5)﹣a= a2﹣2a+ ,
即S= (a﹣2)2+ ;
∴當(dāng)a=2(在0<a<3范圍內(nèi))時(shí),S最小值= .
【解析】(1)根據(jù)OA、AB、OC的長,即可得到A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)此題要通過構(gòu)造全等三角形求解;過B作BM⊥x軸于M,由于∠EBF是由∠DBC旋轉(zhuǎn)而得,所以這兩角都是直角,那么∠EBF=∠ABM=90°,根據(jù)同角的余角相等可得∠EBA=∠FBM;易知BM=OA=AB=2,由此可證得△FBM≌△EBA,則AE=FM;CM的長易求得,關(guān)鍵是FM即AE的長;設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G,由于G點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上,若過G作GH⊥AB,則GH是△ABE的中位線,G點(diǎn)的坐標(biāo)易求得,即可得到GH的長,從而可求出AE的長,即可由CF=CM+FM=AE+CM求出CF的長;(3)由(2)的全等三角形易證得BE=BF,則△BEF是等腰直角三角形,其面積為BF平方的一半;△BFC中,以CF為底,BM為高即可求出△BFC的面積;可設(shè)CF的長為a,進(jìn)而表示出FM的長,由勾股定理即可求得BF的平方,根據(jù)上得出的兩個三角形的面積計(jì)算方法,即可得到關(guān)于S、a的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最小值及對應(yīng)的CF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試,某校對初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練,物理、化學(xué)各有4各不同的操作實(shí)驗(yàn)題目,物理用番號①、②、③、④代表,化學(xué)用字母a、b、c、d表示,測試時(shí)每名學(xué)生每科只操作一個實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定,第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目,第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題目.
(1)請用樹形圖法或列表法,表示某個同學(xué)抽簽的各種可能情況.
(2)小張同學(xué)對物理的①、②和化學(xué)的b、c號實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好,他同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備的較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,F(xiàn)是 上一點(diǎn),且 = ,連接CF并延長交AD的延長線于點(diǎn)E,連接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數(shù)為( )
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè)),與y軸的交點(diǎn)為C,且A(4,0),C(0,﹣3),對稱軸是直線x=1.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)若M是第四象限拋物線上一動點(diǎn),且橫坐標(biāo)為m,設(shè)四邊形OCMA的面積為s.請寫出s與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)m為何值時(shí),四邊形OCMA的面積最大;
(3)設(shè)點(diǎn)B是x軸上的點(diǎn),P是拋物線上的點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得以A,B、C,P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A是函數(shù)y1= (x<0)圖象上一點(diǎn),AO的延長線交函數(shù)y2= (x>0,k<0)的y2圖象于點(diǎn)B,BC⊥x軸,若S△ABC= ,求函數(shù)y2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算下列各題
(1)計(jì)算:(﹣2)2﹣ (1+tan45°)
(2)先化簡,再求值: ,其中a= ﹣2,b= +2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年中考,阜陽市某區(qū)計(jì)劃在4月中旬的某個周二至周四這3天進(jìn)行理化加試.王老師和朱老師都將被邀請當(dāng)監(jiān)考老師,王老師隨機(jī)選擇2天,朱老師隨機(jī)選擇1天當(dāng)監(jiān)考老師.
(1)求王老師選擇周二、周三這兩天的概率是多少?
(2)求王老師和朱老師兩人同一天監(jiān)考理化加試的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)A(﹣3,4)、B(﹣3,0)、C(﹣1,0).以D為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)B.動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿DC邊向點(diǎn)C運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BA邊向點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)P、Q運(yùn)動的速度均為每秒1個單位,運(yùn)動的時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PE⊥CD交BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形BDGQ的面積最大?最大值為多少?
(3)動點(diǎn)P、Q運(yùn)動過程中,在矩形ABCD內(nèi)(包括其邊界)是否存在點(diǎn)H,使以B,Q,E,H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,若存在,請直接寫出此時(shí)菱形的周長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】準(zhǔn)備一張矩形紙片,按如圖操作: 將△ABE沿BE翻折,使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn),將△CDF沿DF翻折,使點(diǎn)C落在對角線BD上的N點(diǎn).
(1)求證:四邊形BFDE是平行四邊形;
(2)若四邊形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面積.
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