Question

已知：如圖，AB是⊙O直徑，OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且交⊙O于點(diǎn)E，若∠AEC=∠ODB．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=10，BC=8時(shí)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接AC，
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
又∵OD⊥BC
∴AC∥OE
∴∠CAB=∠EOB
由對(duì)的圓周角相等
∴∠AEC=∠ABC
又∵∠AEC=∠ODB
∴∠ODB=∠OBC
∴△DBF∽△OBD
∴∠OBD=90°
即BD⊥AB
又∵AB是直徑
∴BD是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥弦BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)O圓心，
∴BF=FC
∴BF=4
由題意OB是半徑即為5
∴在直角三角形OBF中OF為3
由以上（1）得到△DBF∽△OBD
∴
即得BD=．
分析：從切線的判定為目標(biāo)，來(lái)求BD⊥AB，連接AC通過(guò)相似來(lái)證得；通過(guò)已知條件和第一步求得的三角形相似求得BD的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及其應(yīng)用，通過(guò)三角形相似求得，本題思路很好，是一道不錯(cuò)的題．