Question

如圖1，已知：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的直線是，連接AC．
（1）B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B______、C______，拋物線的函數(shù)關(guān)系式為______；
（2）求證：△AOC∽△COB；
（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小？若存在，請求出來，若不存在，請說明理由．
（4）在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S_△ABC=S_△ABQ？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直線的解析式中，令y=0，解得橫坐標(biāo)，即可求得B的坐標(biāo)，令x=0，解得y的值，則可以求得C的坐標(biāo)，把B、C的坐標(biāo)代入解析式，利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先求得A的坐標(biāo)，則OA、OB、OC的長度即可求得，然后根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等，且夾角對應(yīng)相等的三角形相似即可證得；
（3）A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是B，則BC與對稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；
（4）首先求得△ABC的面積，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)的解析式即可求得Q的坐標(biāo)．
解答：解：（1）在y=x-2中，令y=0，則x-2=0，解得x=4，則B的坐標(biāo)是（4，0）．
令x=0，則y=-2，因而C的坐標(biāo)是（0，-2）．
把B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式得：，解得：，
則函數(shù)的解析式是：y=x²-x-2；

（2）在y=x²-x-2中，令y=0，則x²-x-2=0，解得：x=-1或4，則A的坐標(biāo)是（-1，0）．
因而OA=1，OB=4，OC=2．
則，
又∵∠AOC=∠COB，
∴△AOC∽△COB；

（3）A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是B，
則連接BC，與對稱軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
拋物線的對稱軸是：x=-=，
把x=代入y=x-2得：y=-2=-，
則P的坐標(biāo)是：（，-）；

（4）∵S_△ABC=AB•OC=×5×2=5，
S_△ABC=S_△ABQ=5，
∴設(shè)Q的縱坐標(biāo)是m，則AB•|m|=5，即×5|m|=5，
解得：m=±2，
當(dāng)m=2時(shí)，x²-x-2=2，解得：x=，
當(dāng)m=-2時(shí)，x²-x-2=-2，解得：x₁=0，x₂=3．
則Q的坐標(biāo)是：（，1）或（，1）或（0，-1）或（3，-1）．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求拋物線解析式和三角形的面積求法．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．