【題目】兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,F(xiàn)是DE的中點,H是AE的中點,G是BD的中點.

(1)如圖1,若點D、E分別在AC、BC的延長線上,通過觀察和測量,猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為和位置關(guān)系為;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時,其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請證明,不成立請說明理由;
(3)如圖3,將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫出結(jié)論,不用證明.

【答案】
(1)相等;垂直
(2)

解:答:成立,

證明:∵CE=CD,∠ECD=∠ACD=90°,AC=BC,

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE,

由(1)知:FH= AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G= BE,F(xiàn)G∥BE,

∴FH=FG,F(xiàn)H⊥FG,

∴(1)中的猜想還成立.


(3)

解:答:成立,結(jié)論是FH=FG,F(xiàn)H⊥FG.

連接AD,BE,兩線交于Z,AD交BC于X,

同(1)可證

∴FH= AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G= BE,F(xiàn)G∥BE,

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形,

∴CE=CD,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,

∴∠ACD=∠BCE,

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE,

∴AD=BE,∠EBC=∠DAC,

∵∠DAC+∠CXA=90°,∠CXA=∠DXB,

∴∠DXB+∠EBC=90°,

∴∠EZA=180°﹣90°=90°,

即AD⊥BE,

∵FH∥AD,F(xiàn)G∥BE,

∴FH⊥FG,

即FH=FG,F(xiàn)H⊥FG,

結(jié)論是FH=FG,F(xiàn)H⊥FG


【解析】(1)解:∵CE=CD,AC=BC,∠ECA=∠DCB=90°,
∴BE=AD,
∵F是DE的中點,H是AE的中點,G是BD的中點,
∴FH= AD,F(xiàn)H∥AD,F(xiàn)G= BE,F(xiàn)G∥BE,
∴FH=FG,
∵AD⊥BE,
∴FH⊥FG,
所以答案是:相等,垂直.
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形中位線定理的相關(guān)知識點,需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形;等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°;連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半才能正確解答此題.

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組別(mm)

頻數(shù)

頻率

99.55~99.70

x

a

99.70~99.85

5

0.1

99.85~100.00

21

0.42

100.00~100.15

20

b

100.15~100.30

0

0

100.30~100.45

y

0.04

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(1)若三艘軍艦要對△OBC海域進行無盲點監(jiān)控,則雷達的有效探測半徑r至少為多少海里?
(2)現(xiàn)有一艘敵艦A從東部接近△OBC海域,在某一時刻軍艦B測得A位于北偏東60°方向上,同時軍艦C測得A位于南偏東30°方向上,求此時敵艦A離△OBC海域的最短距離為多少海里?
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(2)猜想論證:
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