Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，），P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線OP交該拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)B，直線CP交x軸于點(diǎn)A．

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用m的代數(shù)式表示線段BC的長(zhǎng)；

（3）如果△ABP的面積等于△ABC的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) y=x2-2x；(2)BC=m-1;(3) P的坐標(biāo)為（）

【解析】分析：（1）由對(duì)稱(chēng)軸公式，以及已知頂點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出解析式即可；

（2）設(shè)出P坐標(biāo)，令BC與x軸交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，表示出PN，ON，OM，利用比例表示出BM，進(jìn)而表示出BC即可；

（3）設(shè)出P坐標(biāo)，由兩三角形面積相等得到AC=AP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解確定出t的值，即可求出P坐標(biāo)．

詳解：（1）∵拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，﹣1），∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣2x；

（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：m2﹣2m，令BC與x軸交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N．∵P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，∴PN=m2﹣2m，ON=m，OM=1，由=，得：=，∴BM=m﹣2．∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，﹣1），∴BC=m﹣2+1=m﹣1；

（3）令P（t，t2﹣2t）．∵△ABP的面積等于△ABC的面積，∴AC=AP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC交BC于點(diǎn)Q，∴CM=MQ=1，可得：t2﹣2t=1，解得：t=1+（t=1﹣舍去），∴P的坐標(biāo)為（1+，1）．