Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點處于點O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點E、F，設BE=x．
（1）若三角板的直角頂點處于點O處，如圖（2）．判斷三角形EOF的形狀，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，若三角形EOF的面積為S，求S關于x的函數(shù)關系式．
（3）若三角板的銳角頂點處于點O處，如圖（3）．
①若DF=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內(nèi)切圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）首選根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，進而得出△AOF≌△BOE（ASA），即可得出△EOF是等腰直角三角形；
（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x得出EF的長，進而得出EO，F(xiàn)O的長，即可得出S關于x的函數(shù)關系式；
（3）①首先得出△BOE∽△DFO，進而得出

DF

BO

=

OD

BE

，即可得出y與x的函數(shù)關系式；
②由①知△BOE∽△DFO，

EO

FO

=

BE

OD

，由BO=DO得出

EO

FO

=

BE

OB

而∠EOF=∠0BE=45°得出△EOF∽△EBO，得出∠FEO=∠0EB，進而得出答案．

解答：解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
在△AOF和△BOE中

∠FOA=∠EOB AO=BO ∠OAF=∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF，
∴△EOF是等腰直角三角形；

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x．
∵AE²+AF²=EF²，
∴EF=

x2+(4-x)2

，
∴EO=FO=

2 × x2+(4-x)2

2

，
∴S=

1

2

×EO×FO=

1

2

x²-2x+4；

（3）①∵∠EOF=∠0BE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO，又∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴

DF

BO

=

OD

BE

，
∴y=

8

x

（2≤x≤4）；

②連接EF由①知△BOE∽△DFO，
∴

EO

FO

=

BE

OD

，
∵BO=DO，
∴

EO

FO

=

BE

OB

而∠EOF=∠0BE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠0EB，
∴點O到EF、BE的距離相等，而O到BE的距離，即為正方形內(nèi)切圓⊙O的半徑，
∴直線EF與正方形的內(nèi)切圓相切．

點評：此題主要考查了切線的判定以及正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出是解題關鍵．