Question

【題目】小明拿兩個大小不等直角三角板作拼圖，如圖①小三角板的斜邊與大三角板直角邊正好重合，已知： AD=1，∠B=∠ ACD=30°，

（1）A B的長=__________；四邊形ABCD的面積=___________（直接填空）；

（2）如圖②,若小明將小三角板ACD沿著射線AB方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點A沿AB方向所經(jīng)過的線段長度）．當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時，直接寫出相應的m的值．

（3）如圖③，小明將小三角板ACD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉(zhuǎn)中的△ACD為△AC′D′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)C′D′所在的直線與直線BC交于點P，與直線AB交于點Q．是否存在這樣的P、Q兩點，使△BPQ為等腰三角形？若存在，請直接求出此時D’Q的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=4，面積為；（2）1或3；（3）2-； ； +2.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)，求出AC、CD、AB、BC即可解決問題；

（2）如圖2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．求出DF、DE即可解決問題；

（3）分三種情形求解①如圖3中，當BP=BQ時，②如圖4中，當BQ=PQ時，③如圖5中，當BP=BQ時，分別求解即可；

試題解析：（1）如圖1中，

在Rt△ACD中，∵AD=1，∠ACD=30°，

∴AC=2CD=2，CD=AD=，

在Rt△ACB中，∵∠B=30°，AC=2，

∴AB=2AC=4，BC=AC=2，

∴四邊形ABCD的面積=S△ACD+S△ABC=×1×+×2×2= ．

（2）如圖2中，作DE∥AB交BC于E，交AC于F．

∴∠DFA=∠BAC=60°=∠DAF，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AF=AD=DF=CF=1，∵FE∥AB，

∴CE=EB，

∴EF=AB=2，

∴當點D平移到線段大三角板ABC的邊上時，相應的m的值為1或3．

（3）①如圖3中，當BP=BQ時，在AD′上取一點E使得AE=EQ．

∵∠PBQ=30°，

∴∠AQD′=75°，∵∠AD′Q=90°，

∴∠EAQ=∠EQA=15°

∴∠QED′=30°，設(shè)D′Q=x，則AE=EQ=2x，ED′=x，

∴2x+x=1，

∴x=2-，

∴D′Q=2-．

②如圖4中，當BQ=PQ時，易知∠AQD′=60°，D′Q=ADtan30°=．

③如圖5中，當BP=BQ時，易知∠AQC′=∠C′AQ=15°，∴C′=C′Q，∴D′Q=D′C+C′Q′=．

綜上所述，當△PBQ是等腰三角形時，D′Q的值為2-或 或．