【題目】
(1)如圖(1),正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,直接寫出HD:GC:EB的結(jié)果(不必寫計算過程);
(2)將圖(1)中的正方形AEGH繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度,如圖(2),求HD:GC:EB;
(3)把圖(2)中的正方形都換成矩形,如圖(3),且已知DA:AB=HA:AE=m:n,此時HD:GC:EB的值與(2)小題的結(jié)果相比有變化嗎?如果有變化,直接寫出變化后的結(jié)果(不必寫計算過程).

【答案】
(1)解:連接AG,

∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,

∴∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,

∴A,G,C共線,AB﹣AE=AD﹣AH,

∴HD=BE,

∵AG= = AE,AC= = AB,

∴GC=AC﹣AG= AB﹣ AE= (AB﹣AE)= BE,

∴HD:GC:EB=1: :1;


(2)解:連接AG、AC,

∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,

∴AD:AC=AH:AG=1: ,∠DAC=∠HAG=45°,

∴∠DAH=∠CAG,

∴△DAH∽△CAG,

∴HD:GC=AD:AC=1: ,

∵∠DAB=∠HAE=90°,

∴∠DAH=∠BAE,

在△DAH和△BAE中,

∴△DAH≌△BAE(SAS),

∴HD=EB,

∴HD:GC:EB=1: :1


(3)解:有變化,

連接AG、AC,DA:AB=HA:AE=m:n,

∵∠ADC=∠AHG=90°,

∴△ADC∽△AHG,

∴AD:AC=AH:AG=m: ,∠DAC=∠HAG,

∴∠DAH=∠CAG,

∴△DAH∽△CAG,

∴HD:GC=AD:AC=m: ,

∵∠DAB=∠HAE=90°,

∴∠DAH=∠BAE,

∵DA:AB=HA:AE=m:n,

∴△ADH∽△ABE,

∴DH:BE=AD:AB=m:n,

∴HD:GC:EB=m: :n


【解析】(1)首先連接AG,由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,易證得∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,即A,G,C共線,繼而可得HD=BE,GC= BE,即可求得HD:GC:EB的值;(2)連接AG、AC,由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì),即可求得HD:GC:EB的值;(3)由DA:AB=HA:AE=m:n,易證得△ADC∽△AHG,△DAH∽△CAG,△ADH∽△ABE,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD:GC:EB的值.

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