如圖,已知在平面直角坐標系中,直角梯形ABCD,AB∥CD,AD=CD,∠ABC=90°,A、B在x軸上,點D在y軸上,若tan∠OAD=
4
3
,B點的坐標為(5,0).
(1)求直線AC的解析式;
(2)若點Q、P分別從點C、A同時出發(fā),點Q沿線段CA向點A運動,點P沿線段AB向點B運動,Q點的速度為每秒
5
個單位長度,P點的速度為每秒2個單位長度,設(shè)運動時間為t秒,△PQE的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(請直接寫出自變量t的取值范圍);
(3)在(2)的條件下,過P點作PQ的垂線交直線CD于點M,在P、Q運動的過程中,是否在平面內(nèi)有一點N,使四邊形QPMN為正方形?若存在,求出N點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)正切值表示出AO、DO,由勾股定理求出AD,由條件可以表示出CD,由CD=OB,求出點A、點C的坐標,由待定系數(shù)法就可以求出直線AC的解析式;
(2)先求出∠BAC的正弦值,然后根據(jù)三角形的面積公式分段進行計算就可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式,而求出結(jié)論;
解答:解:(1)∵tan∠OAD=
4
3
,且tan∠OAD=
DO
AO
,
DO
AO
=
4
3

設(shè)DO=4x,AO=3x,在Rt△AOD中,由勾股定理得:
AD=4x.
∵AD=CD,
∴CD=5x,
∵AB∥CD,∠ABC=90°,
∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°,
∴四邊形OBCD是矩形,
∴OB=CD=5x.
∵B(5,0),
∴OB=5,
∴5x=5,
∴x=1,
∴AO=3,DO=4,
∴A(-3,0),C(5,4).
設(shè)直線AC的解析式為,y=kx+b,由題意得
0=-3k+b
4=5k+b
,
解得:
k=
1
2
b=
3
2

故直線AC的解析式為:y=
1
2
x+
3
2


(2)∵當(dāng)x=0時,y=
3
2
,
∴E(0,
3
2
),
∴OE=
3
2

∴DE=
5
2

在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得:
CE=
5
5
2
,AE=
3
5
2
,
∴AC=4
5

∵OA=3,OB=5,
∴AB=8,
∵BC=4,
∴tan∠BAC=
1
2
,sin∠BAC=
5
5
,
∴當(dāng)0<t<
5
2
時,S=
2t(4
5
-
5
t)
5
5
2
-
2t×
3
2
2
,=-t2-
5
2
t;
當(dāng)
5
2
<t≤4時,S=
2t×
3
2
2
-
2t(4
5
-
5
t)
5
5
2
=t2-
5
2
t;
綜上所述,
S=
-t2+
5
2
t(0<t<
5
2
)
t2-
5
2
t(
5
2
<t≤4)


(3)①如圖1,作NH⊥CD與H,MG⊥AB與G,QR⊥AB與R,
∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°,
∵四邊形QPMN為正方形,
∴MP=MN=PQ,∠NMP=∠MPQ=90°,
∴∠NMH=∠GMP=∠QPR,
∵在△MHN和△PRQ中,
∠MHN=∠PRQ
∠NMH=∠QPR
MN=QP
,
∴△MHN≌△PRQ(AAS).
∴NH=QR.
在△GMP和△RPQ中,
∠MGP=∠PRQ
∠GMP=∠QPR
MP=PQ

∴△GMP≌△RPQ(AAS),
∴GM=RP.GP=QR.
∵GM=OD=4cm,
∴RP=4cm.
AR
4
5
-
5
t
=
4
5
8
,
∴AR=8-2t,
∴PR=8-2t-2t=4,
∴t=1,
∴AR=6,AP=2,
∴PO=1,
QR
AR
=
1
2

∴QR=3,
∴GO=4,
∴HN=3,MH=4,.
∴H、O在同一直線上,
∴N(0,7)
②如圖2,作NS⊥CD于S,QH⊥AB于H,MR⊥AB于R,
∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°,
∵四邊形PQNM是正方形,
∴∠QPM=∠PMN=90°,PQ=PM=MN,
∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS,
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM,
∴NS=QH=PR,HP=MR=SM=4,
AH
AQ
=
8
4
5
,
AH
4
5
-
5
t
=
8
4
5

∴AH=8-2t,
∴2t-(8-2t)=4,
∴t=3,
∴AH=2,HO=1,
∴QH=SN=1,OR=4,
∴SM=OR,
∴S在y軸上,
∴N(0,5)
綜上所述,N點的坐標為:(0,7)或(0,5)
點評:本題是一道一次函數(shù)的綜合試題,考查了特殊角的三角函數(shù)值的運用,矩形的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,勾股定理的運用.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知在平面直角坐標系中,△ABC的頂點坐標為A(-3,7),
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(1)將△ABC向下平移3個單位長度,得到△A′B′C′,再向右平移5個單位長度,得到△A″B″C″.在圖中分別作出△A′B′C′,△A″B″C″;
(2)分別寫出點A″、B″、C″的坐標;
(3)求△ABC的面積.

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如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,OA=AB=2,OC=3,過點B作BD⊥BC,交OA于點D.將∠DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn),角的兩精英家教網(wǎng)邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F.
(1)求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)當(dāng)BE經(jīng)過(1)中拋物線的頂點時,求CF的長;
(3)在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q(點Q在點P的上方),且PQ=1,要使四邊形BCPQ的周長最小,求出P、Q兩點的坐標.

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(2012•樊城區(qū)模擬)如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=
m
x
(m≠0)的圖象相交于A、B兩點,且點B的縱坐標為-
1
2
,過點A作AC⊥x軸于點C,AC=1,OC=2.求:
(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式;
(2)求不等式kx+b-
m
x
<0的解集(請直接寫出答案).

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(1)把△ABC平移后,三角形某一邊上一點P(x,y)的對應(yīng)點為P′(x+4,y-2),平移后所得三角形的各頂點的坐標分別為:A1
(3,2)
(3,2)
、B1
(0,-3)
(0,-3)
、C1
(5,-1)
(5,-1)
;
(2)在圖上畫出平移后的三角形△A1B1C1;
(3)請計算△ABC的面積.

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