【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線,這個四邊形叫做和諧四邊形.如菱形就是和諧四邊形.

(1)如圖1,在梯形ABCD中,ADBC,ABC=60°,C=75°,BD平分ABC.求證:BD是梯形ABCD的和諧線;

(2)如圖2,在12×16的網(wǎng)格圖上(每個小正方形的邊長為1)有一個扇形BAC,點(diǎn)ABC均在格點(diǎn)上,請?jiān)诮o出的網(wǎng)格圖上找一個點(diǎn)D,使得以AB、CD為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對角線都是和諧線,并畫出相應(yīng)的和諧四邊形;

(3)四邊形ABCD中,AB=AD=BC,BAD=90°,AC是四邊形ABCD的和諧線,求BCD的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)作圖見解析;(3135°,90°45°.

【解析】試題分析:(1)要證明BD是四邊形ABCD的和諧線,只需要證明△ABD△BDC是等腰三角形就可以;

2)根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等,只要D中點(diǎn)時(shí)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形;連接BC,在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD,構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形,

3)由AC是四邊形ABCD的和諧線,可以得出△ACD是等腰三角形,從圖4,圖5,圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù).

試題解析:(1∵AD∥BC

∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC

∵∠BAD=120°

∴∠ABC=60°

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC=30°

∴∠ABD=∠ADB,

∴△ADB是等腰三角形.

△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,

∴∠BDC=∠C=75°,

∴△BCD為等腰三角形,

∴BD是梯形ABCD的和諧線;

2)由題意作圖為:圖2,圖3

3∵AC是四邊形ABCD的和諧線,

∴△ACD是等腰三角形.

∵AB=AD=BC,

如圖4,當(dāng)AD=AC時(shí),

∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC

∴△ABC是正三角形,

∴∠BAC=∠BCA=60°

∵∠BAD=90°

∴∠CAD=30°,

∴∠ACD=∠ADC=75°,

∴∠BCD=60°+75°=135°

如圖5,當(dāng)AD=CD時(shí),

∴AB=AD=BC=CD

∵∠BAD=90°,

四邊形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°

如圖6,當(dāng)AC=CD時(shí),過點(diǎn)CCE⊥ADE,過點(diǎn)BBF⊥CEF,

∵AC=CDCE⊥AD

∴AE=AD,∠ACE=∠DCE

∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°

四邊形ABFE是矩形.

∴BF=AE

∵AB=AD=BC,

∴BF=BC,

∴∠BCF=30°

∵AB=BC,

∴∠ACB=∠BAC

∵AB∥CE

∴∠BAC=∠ACE,

∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,

∴∠BCD=15°×3=45°

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