Question

如圖，有一堆圓錐形的稻谷，垂直高度CO=4

2

m，底面⊙O的直徑AB=4m，B處有一小貓想去捕捉母線AC中點(diǎn)D處的老鼠，求出小貓繞側(cè)面前行的最短距離．

Answer 1

分析：求這只小貓經(jīng)過的最短距離的問題首先應(yīng)轉(zhuǎn)化為圓錐的側(cè)面展開圖的問題，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的距離的問題．根據(jù)圓錐的軸截面是邊長為6cm的等邊三角形可知，展開圖是半徑是6的半圓．點(diǎn)B是半圓的一個(gè)端點(diǎn)，而點(diǎn)P是平分半圓的半徑的中點(diǎn)，根據(jù)勾股定理就可求出兩點(diǎn)B和P在展開圖中的距離，就是這只小貓經(jīng)過的最短距離．

解答：解：由圖可知，BC=

(4 2 )2+22

=6（2分）
側(cè)面展開是一個(gè)扇形．

6nπ

180

n=120°．（4分）
∴∠A₁CB=60°△A₁CB是正三角形（6分）
由D1是A₁C的中點(diǎn)
∴BD₁⊥A₁C，CD₁=3，BD₁=

62-32

=

27

=3

3

∴小貓前行的最短距離是3

3

m．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，正確判斷小貓經(jīng)過的路線，把曲面的問題轉(zhuǎn)化為平面的問題是解題的關(guān)鍵．