Question

（2013•宜興市二模）閱讀下面材料：
小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：定義：如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度α （0°＜α＜360°） 后所得的圖形與原圖形重合，則稱(chēng)此圖形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形．如等邊三角形就是一個(gè)旋轉(zhuǎn)角為120°的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形．如圖1，點(diǎn)O是等邊三角形△ABC的中心，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，請(qǐng)你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形．小明利用旋轉(zhuǎn)解決了這個(gè)問(wèn)題（如圖2所示）．圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形．請(qǐng)你參考小明同學(xué)解決問(wèn)題的方法，利用圖形變換解決下列問(wèn)題：
如圖3，在等邊△ABC中，E₁、E₂、E₃分別為AB、BC、CA 的中點(diǎn)，P ₁、P₂，M₁、M₂，N₁、N₂分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn)．
（1）在圖3中畫(huà)-個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，并用陰影表示（保留畫(huà)圖痕跡）；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為6，則圖3中△ABM₁的面積為

3

3

．
（3）若△ABC的面積為a，則圖3中△FGH的面積為

a

7

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)前后圖形面積相等即可得出符合要求的答案；
（2）求得△ABC的面積，根據(jù)M₁是BC的三等分點(diǎn)，可以得到△ABM₁的面積為△ABC的面積的

1

3

，據(jù)此即可求解；
（3）根據(jù)（1）中圖形的性質(zhì)，可以得出陰影部分可以分為7個(gè)全等的三角形每一個(gè)與△FGH的面積相等，進(jìn)而得出答案即可．

解答：解：（1）畫(huà)圖如下

（答案不唯-）

（2）邊長(zhǎng)為6的等邊三角形的面積是：

3 ×62

4

=9

3

，
∵M(jìn)₁是BC的三等分點(diǎn)，
∴△ABM₁的面積為：

1

3

×9

3

=3

3

．

（3）結(jié)合圖中所有陰影部分可以分為7個(gè)全等的三角形每一個(gè)與△FGH的面積相等，故△FGH的面積為的

a

7

．
故答案為：

a

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，幾何旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出答案是解題關(guān)鍵．