Question

【題目】如圖，在△ABC中，點PQ分別在AB，AC上，且PQ∥BC，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N．AD⊥BC于點D，交PQ于點E，且AD＝BC．

（1）求AE：PQ的值；

（2）請?zhí)骄?/span>BM，CN．QN之間的等量關(guān)系，并說明理由；

（3）連接MQ，若△ABC的面積等于8，求MQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）AE：PQ＝1；（2）QN＝BM+CN，理由見解析；（3）當x＝4時，MQ有最小值是4．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AE⊥PQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得AE：PQ＝AD：BC，由于AD＝BC，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直的定義得到∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，推出四邊形PMNQ是矩形，得到PQ＝MN，PM＝ED，等量代換即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形的面積得到12BCAD＝8，求得BC＝4，AD＝4，設(shè)MN＝x，則BM＋CN＝8x，PM＝QN＝8x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

（1）∵PQ∥BC，AD⊥BC，

∴AE⊥PQ，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

，

∴AE：PQ＝AD：BC，

∵AD＝BC，

∴AE：PQ＝AD：BC＝1；

（2）QN＝BM+CN，

理由是：∵PM⊥BC，QN⊥BC，

∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，

∴四邊形PMNQ是矩形，

∴PQ＝MN，PM＝ED，

∵AE＝PQ，AD＝BC，

∴AE+ED＝BM+MN+CN，

∴MN+QN＝BM+MN+CN，

∴QN＝BM+CN；

（3）∵△ABC的面積等于8，

∴BCAD＝8，

∵AD＝BC，

∴ BC2＝8，

∴BC＝4，AD＝4，

設(shè)MN＝x，則BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝8﹣x，

∵MQ＝,

∴當x＝4時，MQ有最小值是．