Question

【題目】如圖①，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點(diǎn)．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A﹣B﹣C的方向在長(zhǎng)方形邊上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（圖②為備用圖）

(1)當(dāng)P在AB上，t=　 　s時(shí)，△APE的面積為長(zhǎng)方形面積的；

(2)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，t為何值時(shí)，△APE為直角三角形？

Answer 1

【答案】(1)4；(2)當(dāng)t=3s或t=s時(shí)，△APE為直角三角形．

【解析】

（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長(zhǎng)方形面積的，根據(jù)題意得：△APE的面積=APAD=t×4=，從而求得t值；

（2）①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)△AEP為直角三角形，此時(shí)∠APE為直角，t=3；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，∠AEP為直角時(shí)利用相似三角形求得PB的長(zhǎng)即可求得t值．

（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長(zhǎng)方形面積的，根據(jù)題意得：AP=t，∴△APE的面積=APAD=t×4=，解得：t=4，∴4秒后，△APE的面積為長(zhǎng)方形面積的；

（2）①當(dāng)t=3時(shí)，AP=3，如圖1所示：

∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=DE=3．

∵四邊形ABCD是矩形，BC=AD=4，∴四邊形APED是矩形，∴PE⊥AB，∴△APE是直角三角形；

②當(dāng)P在BC上時(shí)，若△APE是直角三角形，∠AED+∠PEC=90°，如圖2所示：

∵∠ADE=∠ECP=90°，∴∠AED=∠EPC，∴△ADE∽△ECP，∴=，解得：CP===，∴PB=BC﹣PC=4﹣=，∴t=6+=．

綜上所述：當(dāng)t=3s或t=s時(shí)，△APE為直角三角形．