如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

(1)求證：AD⊥CF；

(2)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．

 

 (1)證明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90o，∴∠CBA=∠CAB=45°．

又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°．

又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°，

∴∠BFD=45°=∠BDE，  ∴BF=DB．

又∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD=DB，即BF=CD．

在Rt△CBF和Rt△ACD中，

∵ ∴Rt△CBF≌Rt△ACD，

∴∠BCF=∠CAD．      

又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD +∠GCA =90°，即AD⊥CF；

 (2) △ACF是等腰三角形．

理由：由(1)知： CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分線，

∴BE垂直平分DF，∴AF=AD， 

∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．

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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE，DF，EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形，
③DE長(zhǎng)度的最小值為4；
④四邊形CDFE的面積保持不變；
⑤△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結(jié)論是（　�。�
A、①②③B、①④⑤C、①③④D、③④⑤

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊精英家教網(wǎng)上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
①求證：△DFE是等腰直角三角形；
②在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，四邊形CDFE的面積是否保持不變？試說(shuō)明理由．
③求△CDE面積的最大值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，∠CBD=30°，則
ADDC
=
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)M、N是AB上任意兩點(diǎn)，且∠MCN=45°，點(diǎn)T為AB的中點(diǎn)．以下結(jié)論：①AB=
2
AC；②CM2+TN2=NC2+MT2；③AM2+BN2=MN2；④S△CAM+S△CBN=S△CMN．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）
A、①②③④B、只有①②③
C、只有①③④D、只有②④

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8
2
，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
（1）在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，△DFE是
等腰直角
等腰直角
三角形；
（2）若AD=
2
，求△DFE的面積．

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