Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，以點(diǎn)P為圓心作經(jīng)過Q的圓，則稱該圓為點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”

（1）已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）①若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1），求點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”的面積；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，n），且點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”的半徑為，求n的值；

（2）已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（﹣，0）、（，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，若點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”恰好是△ABC的內(nèi)切圓且點(diǎn)Q在直線y=2x上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（3）已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（﹣3，0）、B（，0），C（0，4），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0， ），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m， ），若點(diǎn)P、Q的“相關(guān)圓”與△ABC的三邊中至少一邊存在公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①5π；②2或﹣2．（2）（， ）；（3） 或﹣ ≤m≤﹣， ≤m≤．

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)PQ=，求出⊙P的半徑即可解決問題；

②過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H．利用勾股定理求出QH的值，即可解決問題；

（2）在Rt△OAC中，∠ACO=30°，可得OC=OA=3，推出C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），推出△ABC的內(nèi)切圓的圓心的坐標(biāo)為（0，1），半徑為1，推出P（0，1），設(shè)Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，求出x即可；

（3）①當(dāng)相關(guān)圓與AC、AB相切時，可得半徑有最小值．

②當(dāng)相關(guān)圓經(jīng)過點(diǎn)B時，可得半徑最大值，由此即可解決問題.

試題解析：1）①∵PQ=，

∴S=πr2=5π．

②過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于H．

∵HQ==2，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或（3，﹣2）．

∴n=2或﹣2．

（2）如圖，

在Rt△OAC中，∠ACO=30°，

∴OC=OA=3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），

∴△ABC的內(nèi)切圓的圓心的坐標(biāo)為（0，1），半徑為1，

∴P（0，1），

設(shè)Q（x，2x），則有x2+（2x﹣1）2=1，

解得x= ，

∴Q（， ）．

（3）如圖3中，

①當(dāng)相關(guān)圓與AC、AB相切時半徑有最小值．

②當(dāng)相關(guān)圓經(jīng)過點(diǎn)B時，半徑有最大值，

∴﹣≤m≤﹣， ≤m≤．