【題目】如圖所示,在⊙O中, = ,弦AB與弦AC交于點(diǎn)A,弦CD與AB交于點(diǎn)F,連接BC.
(1)求證:AC2=ABAF;
(2)若⊙O的半徑長為2cm,∠B=60°,求圖中陰影部分面積.
【答案】
(1)證明:∵ = ,
∴∠ACD=∠ABC,又∠BAC=∠CAF,
∴△ACF∽△ABC,
∴ = ,即AC2=ABAF;
(2)解:解:連接OA,OC,過O作OE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,
如圖所示:
∵∠ABC=60°,∴∠AOC=120°,
又∵OA=OC,∴∠AOE=∠COE= ×120°=60°,
在Rt△AOE中,OA=2cm,
∴OE=OAcos60°=1cm,
∴AE= = cm,
∴AC=2AE=2 cm,
則S陰影=S扇形OAC﹣S△AOC= ﹣ ×2 ×1=( ﹣ )cm2.
【解析】(1)由 = ,利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等,再由一對公共角相等,利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△ACF與△ABC相似,根據(jù)相似得比例可得證;(2)連接OA,OC,利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍,由∠B為60°,求出∠AOC為120°,過O作OE垂直于AC,垂足為點(diǎn)E,由OA=OC,利用三線合一得到OE為角平分線,可得出∠AOE為60°,在Rt△AOE中,由OA及cos60°的值,利用銳角三角函數(shù)定義求出OE的長,在Rt△AOE中,利用勾股定理求出AE的長,進(jìn)而求出AC的長,由扇形AOC的面積﹣△AOC的面積表示出陰影部分的面積,利用扇形的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積.
【考點(diǎn)精析】掌握圓心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理是解答本題的根本,需要知道在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等;在同圓或等圓中,同弧等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半;頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(1,4),B(3,m)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(7分)如圖,EF//AD, =.求證:∠DGA+∠BAC=180°.請將說明過程填寫完成.
證明:∵EF//AD,(已知)
∴=_____(_____________________________).
又∵=(______)
∴=(________________________).
∴AB//______(____________________________)
∴∠DGA+∠BAC=180°(_____________________________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】看圖填空,并在括號內(nèi)注明說理依據(jù).
如圖,已知,,,,與平行嗎?與平行嗎?
解:因?yàn)?/span>,(已知),
所以.
所以 ( ).
又因?yàn)?/span> (已知),
所以.( )
所以.
同理可得, .
所以( ).
所以 (同位角相等,兩直線平行).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一只螞蟻在一個(gè)半圓形的花壇的周邊尋找食物,如圖1,螞蟻從圓心出發(fā),按圖中箭頭所示的方向,依次勻速爬完下列三條線路:(1)線段、(2)半圓弧、(3)線段后,回到出發(fā)點(diǎn).螞蟻離出發(fā)點(diǎn)的距離(螞蟻所在位置與點(diǎn)之間線段的長度)與時(shí)間之間的圖象如圖2所示,問:(注:圓周率的值取3)
(1)請直接寫出:花壇的半徑是 米, .
(2)當(dāng)時(shí),求與之間的關(guān)系式;
(3)若沿途只有一處有食物,螞蟻在尋找到食物后停下來吃了2分鐘,并知螞蟻在吃食物的前后,始終保持爬行且爬行速度不變,請你求出:
①螞蟻停下來吃食物的地方,離出發(fā)點(diǎn)的距離.
②螞蟻返回所用時(shí)間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小明從點(diǎn)O出發(fā),前進(jìn)5m后向右轉(zhuǎn)15°,再前進(jìn)5m后又向右轉(zhuǎn)15°,…這樣一直下去,直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)O為止,他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)多邊形.
(1)小明一共走了多少米?
(2)這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)軸上三點(diǎn)M,O,N對應(yīng)的數(shù)分別為﹣2,0,4,點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn),其對應(yīng)的數(shù)為x.
(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M點(diǎn)N的距離相等,則x= .
(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離之和是10?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.
(3)如果點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘2個(gè)單位長度和每分鐘3個(gè)單位長度的速度也向左運(yùn)動(dòng).設(shè)t分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M、點(diǎn)N的距離相等,求t的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知BD垂直平分線段AC,∠BCD=∠ADF,AF⊥AC
(1)證明:四邊形ABDF是平行四邊形;
(2)若AF=DF=5,AD=6,求AC的長.
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