Question

12、對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若a+c=0，方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程cx²+bx+a=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1=0成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，則一定有b²-4ac=（2am+b）²成立，其中正確的只有（　　）

A、①②

B、②③

C、③④

D、①②④

Answer 1

分析：①根據(jù)根的判別式即可作出判斷；
②方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，判斷方程cx²+bx+a=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，只要證明方程的判別式的值大于0即可；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，則代入即可作出判斷；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，即方程有實(shí)根，判別式△≥0，結(jié)合m是方程的根，代入一定成立，即可作出判斷．

解答：解：①因?yàn)閍+c=0，a≠0，所以①a、c異號，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
②若方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
③若c是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，當(dāng)c=0時(shí)，ac+b+1=0不一定成立；
④若m是方程ax²+bx+c=0的一個(gè)根，所以有am²+bm+c=0，即am²=-（bm+c），而（2am+b）²=4a²m²+4abm+b²=4a[-（bm+c）]+4abm+b²=-4abm-4ac+b²=b²-4ac．
所以①②④成立．
故選D

點(diǎn)評：本題是對根的判別式與一元二次方程的綜合考查，試題在求解的過程中可以利用方程解的定義以及恒等變形求解．